Encontre a solução geral para as equações diferenciais:
(c) y y^{\prime}=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
y\,y' = x^{2}.
Informações dadas: a incógnita é a função y(x); y' representa \dfrac{dy}{dx}; não há condição inicial fornecida, então queremos a família geral de soluções com constante arbitrária.

Passo 2

Vamos escolher um método adequado: a equação é do tipo em que aparece um produto de uma função de y com y' igual a uma função só de x. Nesses casos dá para usar o método de separação de variáveis. A ideia desse método é reescrever a equação de forma que todos os y (com dy) fiquem de um lado e todos os x (com dx) do outro, e depois integrar ambos os lados.
Explicando passo a passo o conceito:
  • Uma equação da forma \,g(y)\,y' = f(x)\, pode ser escrita como \,g(y)\,dy = f(x)\,dx\,.
  • Depois integramos: \displaystyle \int g(y)\,dy = \int f(x)\,dx.
  • O resultado nos dá uma relação entre y e x com uma constante de integração C.

Passo 3

Aplicando a separação à nossa equação. Primeiro escrevemos y'=\dfrac{dy}{dx} e separamos os diferenciais:
y\,\frac{dy}{dx} = x^{2}
\Rightarrow y\,dy = x^{2}\,dx.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. Calcule os antiderivados cuidadosamente:
\int y\,dy = \int x^{2}\,dx.
O antiderivado de y em relação a y é \dfrac{y^{2}}{2}. O antiderivado de x^{2} em relação a x é \dfrac{x^{3}}{3}. Não esqueça da constante de integração no lado direito:
\frac{y^{2}}{2} = \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 5

Isolamos y^{2} para apresentar a solução de forma mais direta. Multiplicando ambos os lados por 2:
y^{2} = \frac{2}{3}x^{3} + C_{1},
onde C_{1}=2C é outra constante arbitrária (renomeamos para simplificar).

Passo 6

Agora obtemos y explicitamente, tomando raiz quadrada em ambos os lados. Lembre-se do sinal \pm:
y = \pm\sqrt{\frac{2}{3}x^{3} + C_{1}}.
Comentário didático: o \pm aparece porque tanto y quanto -y têm o mesmo quadrado. Em qualquer intervalo onde a solução é considerada, você deve escolher um dos sinais (ou seja, a solução é contínua com sinal fixo naquele intervalo) — não se pode trocar de sinal arbitrariamente se quiser uma função diferenciável.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derive a solução explícita e veja que volta à equação original. Suponha y = \pm\sqrt{\frac{2}{3}x^{3} + C_{1}}. Pela regra da cadeia,
y' = \pm \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}x^{3}+C_{1}\right)^{-1/2}\cdot \left(2x^{2}\right) = \pm \frac{x^{2}}{\sqrt{\frac{2}{3}x^{3}+C_{1}}}.
Multiplicando y por y':
y\,y' = \left(\pm\sqrt{\frac{2}{3}x^{3}+C_{1}}\right)\left(\pm \frac{x^{2}}{\sqrt{\frac{2}{3}x^{3}+C_{1}}}\right) = x^{2},
como exigido. Portanto a solução está correta.

Passo 8

Observações finais importantes para a prova:
  • A constante C_{1} é qualquer número real; a expressão dentro da raiz deve ser não negativa no domínio considerado.
  • A solução geral pode ser dada implicitamente por y^{2}=\dfrac{2}{3}x^{3}+C_{1} ou explicitamente por y=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}x^{3}+C_{1}}.
  • Não existe solução identicamente nula y\equiv 0 para todo x, pois substituir y=0 na equação original daria 0=x^{2}, falso para x\neq 0. Portanto y\equiv 0 não é solução global.

Resposta

y^{2}=\dfrac{2}{3}x^{3}+C\n
y=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}x^{3}+C}

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