Encontre a solução geral para as equações diferenciais:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas: a incógnita é a função
;
representa
; não há condição inicial fornecida, então queremos a família geral de soluções com constante arbitrária.
Passo 2
Vamos escolher um método adequado: a equação é do tipo em que aparece um produto de uma função de
com
igual a uma função só de
. Nesses casos dá para usar o método de separação de variáveis. A ideia desse método é reescrever a equação de forma que todos os
(com
) fiquem de um lado e todos os
(com
) do outro, e depois integrar ambos os lados.
Explicando passo a passo o conceito:
- Uma equação da forma
pode ser escrita como . - Depois integramos:
. - O resultado nos dá uma relação entre
e com uma constante de integração .
Passo 3
Aplicando a separação à nossa equação. Primeiro escrevemos
e separamos os diferenciais:
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. Calcule os antiderivados cuidadosamente:
O antiderivado de
em relação a
é
. O antiderivado de
em relação a
é
. Não esqueça da constante de integração no lado direito:
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 5
Isolamos
para apresentar a solução de forma mais direta. Multiplicando ambos os lados por
:
onde
é outra constante arbitrária (renomeamos para simplificar).
Passo 6
Agora obtemos
explicitamente, tomando raiz quadrada em ambos os lados. Lembre-se do sinal
:
Comentário didático: o
aparece porque tanto
quanto
têm o mesmo quadrado. Em qualquer intervalo onde a solução é considerada, você deve escolher um dos sinais (ou seja, a solução é contínua com sinal fixo naquele intervalo) — não se pode trocar de sinal arbitrariamente se quiser uma função diferenciável.
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derive a solução explícita e veja que volta à equação original. Suponha
. Pela regra da cadeia,
Multiplicando
por
:
como exigido. Portanto a solução está correta.
Passo 8
Observações finais importantes para a prova:
- A constante
é qualquer número real; a expressão dentro da raiz deve ser não negativa no domínio considerado. - A solução geral pode ser dada implicitamente por
ou explicitamente por . - Não existe solução identicamente nula
para todo , pois substituir na equação original daria , falso para . Portanto não é solução global.