Resolva as seguintes equações diferenciais:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas importantes:
- A incógnita é a função
. - A equação relaciona
(derivada de em relação a ) com e . - O termo
é sempre positivo para todo , então não há pontos singulares óbvios originados desse fator.
Passo 2
Vamos manipular a equação para deixá‑la numa forma que eu consigo integrar passo a passo. Primeiro, divido ambos os lados por
(isso é válido pois
):
Agora escrevo
como
para ver melhor a separação de variáveis:
Aqui dá para perceber que a equação é separável: podemos reunir termos com
de um lado e termos com
do outro.
Passo 3
Separei as variáveis colocando
no numerador à esquerda e a parte em
à direita:
Explicação didática: a ideia de separação é obter uma expressão do tipo
. Depois integramos ambos os lados. Aqui
e
.
Agora integro ambos os lados:
Passo 4
Faço as integrais explicitamente.
Lado esquerdo:
onde
é constante de integração. Explicação: a primitiva de
é
porque a derivada de
é
.
Lado direito: uso a substituição
, então
. Assim
Observação: como
, posso tirar o valor absoluto e escrever
.
Igualando as duas primitivas (absorvendo constantes em uma só constante
):
onde
.
Passo 5
Resolvo para
exponenciando os dois lados:
Chamo
de constante positiva
. Portanto
. Para incorporar o sinal e permitir a solução nula, escrevo a constante arbitrária como
. Assim a solução geral é
onde
é uma constante real qualquer (inclui
).
Explicação: agrupei todas as constantes numa só
porque na resolução de EDOs de primeira ordem é comum escrever assim; o importante é que é uma constante arbitrária.
Passo 6
Faço uma verificação rápida (sempre bom checar): se
, então
Substituindo na equação original:
logo a expressão satisfaz a equação para qualquer
. Tudo conferido!