Resolva as seguintes equações diferenciais:
(c) \left(x^{2}+1\right) y^{\prime}=2 x y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\left(x^{2}+1\right) y' = 2x\,y.
Informações dadas importantes:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A equação relaciona y' (derivada de y em relação a x) com x e y.
  • O termo x^{2}+1 é sempre positivo para todo x\in\mathbb{R}, então não há pontos singulares óbvios originados desse fator.

Passo 2

Vamos manipular a equação para deixá‑la numa forma que eu consigo integrar passo a passo. Primeiro, divido ambos os lados por x^{2}+1 (isso é válido pois x^{2}+1>0):
y' = \frac{2x}{x^{2}+1}\,y.
Agora escrevo y' como \dfrac{dy}{dx} para ver melhor a separação de variáveis:
\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^{2}+1}\,y.
Aqui dá para perceber que a equação é separável: podemos reunir termos com y de um lado e termos com x do outro.

Passo 3

Separei as variáveis colocando y no numerador à esquerda e a parte em x à direita:
\frac{1}{y}\,dy = \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx.
Explicação didática: a ideia de separação é obter uma expressão do tipo g(y)\,dy = f(x)\,dx. Depois integramos ambos os lados. Aqui g(y)=1/y e f(x)=2x/(x^2+1).
Agora integro ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 4

Faço as integrais explicitamente.
Lado esquerdo:
\int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Explicação: a primitiva de 1/y é \ln|y| porque a derivada de \ln|y| é 1/y.
Lado direito: uso a substituição u = x^{2}+1, então du = 2x\,dx. Assim
\int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C_2 = \ln(x^{2}+1) + C_2.
Observação: como x^{2}+1>0, posso tirar o valor absoluto e escrever \ln(x^{2}+1).
Igualando as duas primitivas (absorvendo constantes em uma só constante C):
\ln|y| = \ln(x^{2}+1) + C,
onde C = C_2 - C_1.

Passo 5

Resolvo para y exponenciando os dois lados:
|y| = e^{C}\,(x^{2}+1).
Chamo e^{C} de constante positiva A>0. Portanto y = \pm A (x^{2}+1). Para incorporar o sinal e permitir a solução nula, escrevo a constante arbitrária como C\in\mathbb{R}. Assim a solução geral é
y = C\,(x^{2}+1),
onde C é uma constante real qualquer (inclui C=0).
Explicação: agrupei todas as constantes numa só C porque na resolução de EDOs de primeira ordem é comum escrever assim; o importante é que é uma constante arbitrária.

Passo 6

Faço uma verificação rápida (sempre bom checar): se y = C(x^{2}+1), então
y' = 2C x.
Substituindo na equação original:
(x^{2}+1)\,y' = (x^{2}+1)\cdot 2C x = 2x \cdot C(x^{2}+1) = 2x\,y,
logo a expressão satisfaz a equação para qualquer C\in\mathbb{R}. Tudo conferido!

Resposta

y = C\,(x^{2}+1),\quad C\in\mathbb{R}

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