Encontre a solução geral das equações diferenciais:
\frac{d y}{d t}+3 t^{2} y=e^{-t^{2}+t}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
\frac{dy}{dt} + 3\,t^{2}\,y = e^{-t^{2}+t}
O conteúdo é “equação diferencial linear” e vamos usar o método do fator integrante para achar a solução geral.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t) como
\mu(t) = \exp\Bigl(\int 3\,t^{2}\,dt\Bigr) = \exp\bigl(t^{3}\bigr).

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação por \mu(t) obtemos
e^{t^{3}}\frac{dy}{dt} + 3\,t^{2}\,e^{t^{3}}\,y = e^{t^{3}}\,e^{-t^{2}+t}.
O lado esquerdo é agora a derivada do produto e^{t^{3}}\,y, pois
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t^{3}}\,y\bigr) = e^{t^{3}}\frac{dy}{dt} + 3\,t^{2}\,e^{t^{3}}\,y.
Logo
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t^{3}}\,y\bigr) = e^{\,t^{3}-t^{2}+t}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^{t^{3}}\,y = \int e^{\,t^{3}-t^{2}+t}\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Finalmente, isolamos y:
y(t) = e^{-\,t^{3}}\Bigl(\!\int e^{\,t^{3}-t^{2}+t}\,dt + C\Bigr).

Resposta

y(t) = e^{-t^{3}}\Bigl(\!\int e^{\,t^{3}-t^{2}+t}\,dt + C\Bigr).

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