Encontre a solução geral das equações diferenciais:
\left(x^{2}-9\right) y^{\prime}+x y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
\bigl(x^{2}-9\bigr)\,y^{\prime}+x\,y=0.
Isso é uma equação linear homogênea em y que pode ser tratada por separação de variáveis. Vamos reorganizar para isolar y' e y.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x^{2}-9 (supondo x\neq\pm3), obtemos
y^{\prime} + \frac{x}{x^{2}-9}\,y = 0.
Como é homogênea, podemos escrever
\frac{y'}{y} = -\frac{x}{x^{2}-9}.
Isso permite separar as variáveis y e x.

Passo 3

Integramos dos dois lados:
\int \frac{y'}{y}\,dx = -\int \frac{x}{x^{2}-9}\,dx.
No lado esquerdo vem
\int \frac{y'}{y}\,dx = \ln\bigl|y\bigr|.
No direito, fazemos a substituição u = x^{2}-9, du = 2x\,dx, logo
-\int \frac{x}{x^{2}-9}\,dx = -\frac12 \int \frac{du}{u} = -\frac12 \ln\bigl|u\bigr| + C_1 = -\frac12 \ln\bigl|x^{2}-9\bigr| + C_1.
Assim,
\ln\bigl|y\bigr| = -\tfrac12 \ln\bigl|x^{2}-9\bigr| + C_1.

Passo 4

Exponenciando, obtemos
\bigl|y\bigr| = e^{C_1}\,\bigl|x^{2}-9\bigr|^{-\tfrac12}.
Chamando C = \pm e^{C_1}, a solução geral fica
y = C\,(x^{2}-9)^{-\tfrac12},
onde C é constante arbitrária. Note que y=0 também está incluída ao tomar C=0.

Resposta

A solução geral é
y = C\,(x^{2}-9)^{-\tfrac12},
com C constante arbitrária e x\neq\pm3.

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