Em que intervalo(s)a funçăo f(x)=x-\frac{36}{6-x} é crescente?

Passo 1

O enunciado pede para determinar em que intervalo(s) a função
f(x)=x-\frac{36}{6-x}
é crescente. O conteúdo usado será monotonicidade de funções via cálculo de derivada e análise de sinal.

Passo 2

Primeiro, identifique o domínio de f. Como o denominador não pode ser zero,
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{6\}.
Em seguida, calculamos a derivada de f. Seja
g(x)=\frac{36}{6-x}.
Temos
g'(x) =36\cdot\frac{d}{dx}\bigl((6-x)^{-1}\bigr) =36\,(6-x)^{-2}.
Logo,
f'(x) =1 - g'(x) =1 - \frac{36}{(6-x)^2}.

Passo 3

Para determinar onde f é crescente, resolvemos
f'(x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1 - \frac{36}{(6-x)^2}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{36}{(6-x)^2}<1.
Isso equivale a
(6-x)^2>36 \quad\Longleftrightarrow\quad |6-x|>6.
Portanto,
6-x>6\quad\Longrightarrow\quad x<0,
ou
6-x<-6\quad\Longrightarrow\quad x>12.

Passo 4

Levando em conta o domínio \mathbb{R}\setminus\{6\} e que não há outras restrições, concluímos que f'(x)>0 exatamente para
x<0 \quad\text{e}\quad x>12.

Resposta

(-\infty,0)\cup(12,\infty) onde a função f(x) é crescente.

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