Encontre a solução geral das equações diferenciais:
\frac{1}{4 x} y^{\prime}+5 y=1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
\displaystyle \frac{1}{4x}\,y'+5y=1.
O conteúdo aqui é EDO de primeira ordem linear. Para resolver vamos:
  1. escrever na forma padrão y'+P(x)\,y=Q(x),
  2. achar o fator integrante \mu(x),
  3. usar que \frac{d}{dx}(y\,\mu)=\mu\,Q e integrar.

Passo 2

Multiplicamos a equação por 4x para obter a forma padrão:
y' + 20x\,y = 4x.

Passo 3

Identificamos
P(x)=20x, \quad Q(x)=4x.
O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int 20x\,dx\Bigr) = \exp\bigl(10x^2\bigr).

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x):
\exp\bigl(10x^2\bigr)\,y' + 20x\,\exp\bigl(10x^2\bigr)\,y = 4x\,\exp\bigl(10x^2\bigr).
O lado esquerdo é a derivada
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{10x^2}\bigr) =4x\,e^{10x^2}.
Integrando ambos os lados:
y\,e^{10x^2} =\int 4x\,e^{10x^2}\,dx + C.

Passo 5

Para calcular \displaystyle\int 4x\,e^{10x^2}\,dx, fazemos u=10x^2, du=20x\,dx, logo 4x\,dx=du/5. Assim,
\int 4x\,e^{10x^2}\,dx =\int e^u\,\frac{du}{5} =\frac{e^u}{5} =\frac{e^{10x^2}}{5}.
Logo
y\,e^{10x^2} =\frac{e^{10x^2}}{5}+C \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{1}{5}+C\,e^{-10x^2}.

Resposta

A solução geral é
y(x)=\frac{1}{5}+C\,e^{-10x^2},
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados