Encontre a solução geral das equações diferenciais homogêneas a seguir.
d^2 yd x^2+20 d yd x+200 y=0

Passo 1

Temos uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: y''+20y'+200y=0. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico associado à equação:
r^2 + 20r + 200 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante e as raízes desse polinômio:
De

Passo 4

Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas conjugadas:
r = -20 pm raiz-4002 = -10 pm 10,i

Passo 5

Para raízes complexas -10 pm 10i, a solução geral fica na forma de exponencial decrescente multiplicada por funções trigonométricas:

Resposta

y(x) = e^{-10x}\bigl(C_1\cos(10x) + C_2\sin(10x)).

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