Encontre a solução geral das equações diferenciais homogêneas a seguir.
Passo 1
Temos uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico.
Passo 2
Escrevemos o polinômio característico associado à equação:
Passo 3
Calculamos o discriminante e as raízes desse polinômio:
Passo 4
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas conjugadas:
Passo 5
Para raízes complexas
, a solução geral fica na forma de exponencial decrescente multiplicada por funções trigonométricas:
Resposta
y(x) = e^{-10x}\bigl(C_1\cos(10x) + C_2\sin(10x)).