Forneça o Wronskiano dos conjuntos de funçôes dados e use esse resultado para classifica-los como Linearmente Dependente (L.D) ou Linearmente Independente (LI).
y1(x)=x^2+3, y2(x)=5-x^2, y3(x)=x^2-13

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três funções dadas:
y1(x) = x^2 + 3
y2(x) = 5 - x^2
y3(x) = x^2 - 13
O que a gente precisa fazer é calcular o Wronskiano dessas funções e, com esse resultado, determinar se elas são Linearmente Dependentes (L.D.) ou Linearmente Independentes (L.I.). O Wronskiano é uma ferramenta que ajuda a verificar essa dependência entre funções, especialmente em cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para três funções, o Wronskiano $ W $ é dado pelo determinante de uma matriz onde cada linha contém uma função e suas duas primeiras derivadas. Ou seja:
W
Então, precisamos calcular as derivadas de cada função.

Passo 3

Vamos calcular as primeiras derivadas:
y1'(x) = 2x
y2'(x) = -2x
y3'(x) = 2x
E agora as segundas derivadas:
y1''(x) = 2
y2''(x) = -2
y3''(x) = 2

Passo 4

Com as funções e suas derivadas, montamos a matriz do Wronskiano:
W = x^2 + 3 & 5 - x^2 & x^2 - 13 2x & -2x & 2x 2 & -2 & 2
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 5

Para calcular o determinante $ W $, podemos expandir usando a primeira linha:
W
Vamos calcular cada um desses menores:
  1. Primeiro menor:
W = (x^2 + 3) cdot -2x & 2x -2 & 2 - (5 - x^2) cdot 2x & 2x 2 & 2 + (x^2 - 13) cdot 2x & -2x 2 & -2
  1. Segundo menor:
-2x & 2x -2 & 2 = (-2x)(2) - (2x)(-2) = -4x + 4x = 0
  1. Terceiro menor:
2x & 2x 2 & 2 = (2x)(2) - (2x)(2) = 4x - 4x = 0

Passo 6

Agora, substituindo os valores dos menores na expressão do $ W $:
W

Resposta

O Wronskiano calculado é $ W = 0 $. Portanto, as funções são Linearmente Dependentes (L.D.).

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