Forneça o Wronskiano dos conjuntos de funçôes dados e use esse resultado para classifica-los como Linearmente Dependente (L.D) ou Linearmente Independente (LI).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três funções dadas:
O que a gente precisa fazer é calcular o Wronskiano dessas funções e, com esse resultado, determinar se elas são Linearmente Dependentes (L.D.) ou Linearmente Independentes (L.I.). O Wronskiano é uma ferramenta que ajuda a verificar essa dependência entre funções, especialmente em cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para três funções, o Wronskiano $ W $ é dado pelo determinante de uma matriz onde cada linha contém uma função e suas duas primeiras derivadas. Ou seja:
Então, precisamos calcular as derivadas de cada função.
Passo 3
Vamos calcular as primeiras derivadas:
E agora as segundas derivadas:
Passo 4
Com as funções e suas derivadas, montamos a matriz do Wronskiano:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 5
Para calcular o determinante $ W $, podemos expandir usando a primeira linha:
Vamos calcular cada um desses menores:
- Primeiro menor:
- Segundo menor:
- Terceiro menor:
Passo 6
Agora, substituindo os valores dos menores na expressão do $ W $:
Resposta
O Wronskiano calculado é $ W = 0 $. Portanto, as funções são Linearmente Dependentes (L.D.).