Encontre a solução do problema de valor inicial:
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0 ; y(0)=0, y^{\prime}(0)=-2

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' - 6y' + 9y = 0,
com condições y(0)=0 e y'(0)=-2.
O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes; vamos resolver via equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
\lambda^2 - 6\lambda + 9 = 0.
Resolvendo, reconhecemos que \lambda^2 -6\lambda+9 = (\lambda - 3)^2. Logo existe raiz dupla \lambda = 3.

Passo 3

Para raiz dupla \lambda=3, a solução geral da equação homogênea é
y(x) = C_1 e^{3x} + C_2\,x\,e^{3x},
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Calculamos a derivada y'(x):
y'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(C_1 e^{3x} + C_2 x e^{3x}\bigr) = 3C_1 e^{3x} + C_2 e^{3x} + 3C_2 x e^{3x} = e^{3x}\bigl(3C_1 + C_2 + 3C_2 x\bigr).
Agora aplicamos as condições iniciais:
  1. y(0)=0
y(0) = C_1 = 0.
  1. y'(0)=-2
y'(0) = 3C_1 + C_2 = C_2 = -2.

Passo 5

Substituindo C_1=0 e C_2=-2 na solução geral, obtemos
y(x) = -2\,x\,e^{3x}.

Resposta

y(x) = -2x e^{3x}.

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