Encontre a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
com condições
e
.
O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes; vamos resolver via equação característica.
O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes; vamos resolver via equação característica.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada:
Resolvendo, reconhecemos que
. Logo existe raiz dupla
.
Passo 3
Para raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Calculamos a derivada
:
Agora aplicamos as condições iniciais:
-
dá
-
dá
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos