Encontre a solução geral para as Equações Diferenciais Ordinárias abaixo:
y^prime prime-4 y=x^2+x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y = x^2 + x
O conteúdo é “equações lineares de 2º ordem não homogêneas” e vamos usar o procedimento padrão: encontrar a solução geral da homogênea e depois uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da parte homogênea
y'' - 4y = 0
A equação característica é
r^2 - 4 = 0
cuja raízes são r = 2 e r = -2. Logo, a solução complementar é
yc(x) = C1 e^2x + C2 e^-2x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp(x) para
y'' - 4y = x^2 + x
pelo método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é um polinômio de grau 2, supomos
yp(x) = A x^2 + B x + C
Então
yp'(x) = 2A x + B,
yp''(x) = 2A
Substituindo na equação:
yp'' - 4yp = 2A - 4(A x^2 + B x + C) = x^2 + x
Isto é,
-4A,x^2 - 4B,x + (2A - 4C) = 1,x^2 + 1,x + 0
Comparando coeficientes:
-4A = 1 Rightarrow A = -tfrac14,
-4B = 1 Rightarrow B = -tfrac14,
2A - 4C = 0 Rightarrow 2l(-tfrac14r) - 4C = 0 Rightarrow C = -tfrac18
Assim,
yp(x) = -tfrac14 x^2 - tfrac14 x - tfrac18

Passo 4

A solução geral é a soma da complementar com a particular:
y(x) = yc(x) + yp(x) = C1 e^2x + C2 e^-2x ;-;tfrac14 x^2 - tfrac14 x - tfrac18

Resposta

boxedy(x) = C1 e^2x + C2 e^-2x - tfrac14 x^2 - tfrac14 x - tfrac18

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