Encontre a solução geral das equações diferenciais a seguir:
d yd x=1x y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
dydx = 1x,y
Isso é uma EDO de primeira ordem e variáveis separáveis. Para resolver, vamos separar y de um lado e x do outro e integrar.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por y,dx:
y,dy = dxx

Passo 3

Agora integramos cada lado:
integral y,dy = integral dxx
A integral do lado esquerdo é tfrac12y^2 e a do direito é ln|x|, mais uma constante de integração C:
12y^2 = ln|x| + C

Passo 4

Multiplique por 2 e renomeie a constante ( 2Cto C1):
y^2 = 2,ln|x| + C1
Extraindo raiz, obtemos
y = pmraiz2,ln|x| + C1,

Passo 5

Como aparece ln|x|, a solução só faz sentido para x neq 0. A constante C1 é qualquer real, definindo diferentes curvas-solução.

Resposta

A solução geral é
y^2 = 2,ln|x| + C
ou equivalentemente
y = pmraiz2,ln|x| + C,, C in R

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