Q6. Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a) d yd x=x y, y(0)=2
(b) d yd x=y^2 sin x, y(0)=1
(c) d yd x=yx^2+1, y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver três problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e separáveis. Vamos usar o método da separação de variáveis, que consiste em isolar y e x em lados opostos da equação, integrar ambos os lados e aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Para (a) dydx = x,y, separamos as variáveis:
1y,dy = x,dx
Integrando,
integral 1y,dy = integral x,dx
resulta em
ln|y| = x^22 + C
Aplicando y(0)=2 ln 2 = C. Portanto,
ln|y| = x^22 + ln 2 Longrightarrow y = 2 e^x^2/2

Passo 3

Para (b) dydx = y^2sin x, separamos:
y^-2,dy = sin x,dx
Integrando,
integral y^-2,dy = integral sin x,dx
resulta em
-1y = -cos x + C Longrightarrow 1y = cos x + C'
Com y(0)=1 temos 1 = 1 + C', logo C'=0. Assim,
y = 1cos x

Passo 4

Para (c) dydx = yx^2+1, separamos:
1y,dy = 1x^2+1,dx
Integrando,
integral 1y,dy = integral 1x^2+1,dx
resulta em
ln|y| = arctan x + C
Aplicando y(1)=2 e arctan 1 = pi4 ln 2 = pi4 + C, logo C = ln 2 - pi4. Portanto,
ln|y| = arctan x + ln 2 - pi4 Longrightarrow y = 2 e^arctan x - pi/4

Resposta

(a) y(x) = 2 e^x^2/2
(b) y(x) = 1cos x
(c) y(x) = 2 e^arctan x - pi/4

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