Encontre a solução geral das equações diferenciais a seguir:
d yd x=xy

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
dydx = xy
O conteúdo é equação de primeira ordem separável. Vamos separar as variáveis y e x para integrar cada lado.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por y,dx:
y,dydx = x Longrightarrow y,dy = x,dx

Passo 3

Integre ambos os lados em relação às suas variáveis:
integral y,dy = integral x,dx
No lado esquerdo a primitiva de y é tfracy^22; no direito, a primitiva de x é tfracx^22. Logo
y^22 = x^22 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Multiplique tudo por 2 para simplificar:
y^2 = x^2 + C',
em que definimos C' = 2C, outra constante arbitrária.

Passo 5

Extraia y da equação:
y = pmraizx^2 + C'
Como C' é um parâmetro livre, podemos renomeá-lo simplesmente por C.

Resposta

A solução geral é
y(x) = pmraizx^2 + C,
onde C é constante arbitrária.

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