Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes.
f(x)=4 x^3+3 x^2-6 x+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar, de modo algébrico, onde a função
f(x)=4x^3+3x^2-6x+1
é crescente ou decrescente. Para isso vamos usar o teste de monotonicidade, que diz: uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como f(x)=4x^3+3x^2-6x+1, vale
f'(x)=ddx(4x^3)+ddx(3x^2)-ddx(6x)+ddx(1) =12x^2+6x-6

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
12x^2+6x-6=0 Long<=ftrightarrow 6l(2x^2+x-1r)=0 Long<=ftrightarrow 2x^2+x-1=0
Usando a fórmula de Bhaskara em 2x^2+x-1=0, temos
x=-1pmraiz1+84 =-1pm34,
logo os pontos críticos são
x=-1 e x=tfrac12

Passo 4

Agora analisamos o sinal de f'(x)=12x^2+6x-6 em cada intervalo determinado por -1 e tfrac12.
Para x<-1, por exemplo x=-2,
f'(-2)=12cdot4-12-6=30>0
Para -1<x<tfrac12, por exemplo x=0,
f'(0)=-6<0
Para x>tfrac12, por exemplo x=1,
f'(1)=12+6-6=12>0

Passo 5

Concluímos que
f'(x)>0 em (-infty,-1) e em (tfrac12,infty), portanto f é crescente nesses intervalos.
f'(x)<0 em (-1,tfrac12), portanto f é decrescente nesse intervalo.

Resposta

A função f é crescente em (-infty,-1)cup(tfrac12,infty) e decrescente em (-1,tfrac12).

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