Determine os valores de m para os quais as seguintes funções são soluções das equações diferenciais:
y(x)=x^{m} para x y^{\prime}-m y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar para quais valores de m a função
y(x)=x^{m}
é solução da equação diferencial
x\,y' - m\,y = 0.
O conteúdo aqui é derivação de potência e substituição em ODE de primeira ordem.

Passo 2

Calculemos a derivada de y(x)=x^{m} usando a regra de potência:
y'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{m}\bigr)=m\,x^{m-1}.

Passo 3

Substituímos y e y' na equação diferencial:
x\,y' - m\,y = x\bigl(m\,x^{m-1}\bigr) \;-\; m\,\bigl(x^{m}\bigr) = m\,x^{m} - m\,x^{m}.

Passo 4

Observamos que
m\,x^{m} - m\,x^{m} = 0
para todo x\neq0 e para qualquer valor real de m. Logo, a equação diferencial é satisfeita identicamente.

Resposta

A função y(x)=x^{m} é solução de x\,y' - m\,y = 0 para todo m\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados