Encontre a solução geral das equações diferencias abaixo:
\left(1+t^{2}\right) y^{\prime}+4 t y=\left(1+t^{2}\right)^{-2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem linear
\bigl(1+t^{2}\bigr)\,y' + 4t\,y = \bigl(1+t^{2}\bigr)^{-2}
O conteúdo é resolução de EDO linear usando fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão y' + P(t)\,y = Q(t) dividindo por \bigl(1+t^{2}\bigr):
y' + \frac{4t}{1+t^{2}}\,y = (1+t^{2})^{-3}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\!\Bigl(\int P(t)\,dt\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int \frac{4t}{1+t^{2}}\,dt\Bigr) = \exp\bigl(2\ln(1+t^{2})\bigr) = (1+t^{2})^{2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(t). O lado esquerdo torna-se a derivada de \mu(t)\,y:
\frac{d}{dt}\bigl[(1+t^{2})^{2}\,y\bigr] = (1+t^{2})^{2}\,(1+t^{2})^{-3} = (1+t^{2})^{-1}.
Integramos ambos os lados em relação a t:
(1+t^{2})^{2}\,y = \int (1+t^{2})^{-1}\,dt + C = \arctan t + C.

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral
y(t) = \frac{\arctan t + C}{(1+t^{2})^{2}},
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(t) = \frac{\arctan t + C}{(1+t^{2})^{2}}.

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