Encontre a solução geral das equações diferencias abaixo:
y^{\prime}+\left(\frac{1}{t}\right) y=3 \cos 2 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y' + \frac{1}{t}\,y = 3\cos 2t.
Isso é um caso clássico de equação linear y' + P(t)y = Q(t) com P(t)=1/t. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t) como
\mu(t) = \exp\biggl(\int P(t)\,dt\biggr) = \exp\biggl(\int \frac{1}{t}\,dt\biggr) = \exp(\ln |t|) = t,
assumindo t>0 para simplificar.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(t)=t, obtemos
t\,y' + y = 3t\cos 2t.
O lado esquerdo é a derivada do produto t\,y, pois
\frac{d}{dt}(t\,y) = t\,y' + y.
Logo a equação fica
\frac{d}{dt}(t\,y) = 3t\cos 2t.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
t\,y = \int 3t\cos 2t\,dt.
Para calcular \displaystyle \int t\cos 2t\,dt, usamos integração por partes com u = t, dv = \cos 2t\,dt, daí du = dt, v = \tfrac{1}{2}\sin 2t.
Isso dá
\int t\cos 2t\,dt = \frac{t}{2}\sin 2t - \int \frac{1}{2}\sin 2t\,dt = \frac{t}{2}\sin 2t + \frac{1}{4}\cos 2t + C_1.
Multiplicando por 3,
\int 3t\cos 2t\,dt = \frac{3t}{2}\sin 2t + \frac{3}{4}\cos 2t + C.

Passo 5

Substituindo na expressão para t\,y, obtemos
t\,y = \frac{3t}{2}\sin 2t + \frac{3}{4}\cos 2t + C.
Dividindo por t, a solução geral é
y(t) = \frac{3}{2}\sin 2t \;+\; \frac{3}{4t}\cos 2t \;+\; \frac{C}{t},
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(t) = \frac{3}{2}\sin 2t + \frac{3}{4t}\cos 2t + \frac{C}{t}.

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