QUESTÃO 3 - Mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos informados. Para cada alternativa, afirme se a orientação do contorno C é relevante ou não.
e
é o círculo
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o círculo
, e dizer se a orientação de
importa. O conteúdo necessário é o Teorema de Cauchy para funções analíticas.
Passo 2
Identificamos as singularidades de
.
Há um polo simples em . Como
, esse polo está fora de
. Logo,
é analítica em todo o interior de
e também sobre
.
Há um polo simples em
Passo 3
Pelo Teorema de Cauchy, se uma função é analítica em uma região simplesmente conexa que contém o contorno e seu interior, então a integral sobre esse contorno é zero. Portanto,
Passo 4
Como o valor da integral é exatamente zero, inverter ou não a orientação de
só trocaria o sinal de um valor nulo, que continua sendo zero. Assim, a orientação do contorno não é relevante para o resultado.
Resposta
e a orientação de
é irrelevante.