QUESTÃO 3 - Mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos informados. Para cada alternativa, afirme se a orientação do contorno C é relevante ou não.
f(z)=\frac{z+1}{z-3} e C é o círculo |z|=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\oint_{C}\frac{z+1}{z-3}\,dz
onde C é o círculo \lvert z\rvert=2, e dizer se a orientação de C importa. O conteúdo necessário é o Teorema de Cauchy para funções analíticas.

Passo 2

Identificamos as singularidades de \displaystyle f(z)=\frac{z+1}{z-3}.
Há um polo simples em z=3. Como \lvert 3\rvert=3>2, esse polo está fora de C. Logo, f é analítica em todo o interior de C e também sobre C.

Passo 3

Pelo Teorema de Cauchy, se uma função é analítica em uma região simplesmente conexa que contém o contorno e seu interior, então a integral sobre esse contorno é zero. Portanto,
\oint_{C}\frac{z+1}{z-3}\,dz=0.

Passo 4

Como o valor da integral é exatamente zero, inverter ou não a orientação de C só trocaria o sinal de um valor nulo, que continua sendo zero. Assim, a orientação do contorno não é relevante para o resultado.

Resposta

\oint_{C}\frac{z+1}{z-3}\,dz=0,
e a orientação de C é irrelevante.

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