Encontre a solução geral das equações lineares homogêneas, usando a equação auxiliar: 5 y^prime prime+8 y^prime-21 y=0;

Passo 1

Temos a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes 5 y'' + 8 y' - 21 y = 0. O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem, e vamos usar a equação característica para resolver.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y = e^rt e substituímos na equação. Derivando e inserindo, obtemos a equação característica de segundo grau:
5 r^2 + 8 r - 21 = 0

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Bhaskara em 5r^2 + 8r - 21 = 0. O discriminante é
De
Então:
r = -8 pm raiz48410 = -8 pm 2210
Logo, as raízes são r1 = 7/5 e r2 = -3.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais associadas às raízes:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t

Resposta

y(t) = C1 e^75t + C2 e^-3t

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