Encontre a solução geral das equações lineares homogêneas, usando a equação auxiliar:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem usando a equação auxiliar. O conteúdo é EDOs lineares homogêneas de coeficientes constantes e vamos precisar formular e resolver a equação característica associada.
Passo 2
Para transformar a EDO em equação característica, substituímos \y\ por \mathrm{e}^{\lambda t}\. Assim, a equação \displaystyle 4y’’ - 4y’ + y = 0\ gera a equação auxiliar
[ 4\lambda^2 - 4\lambda + 1 = 0 ]
[ 4\lambda^2 - 4\lambda + 1 = 0 ]
Passo 3
Agora resolvemos a equação auxiliar. Calculamos o discriminante \Delta = (-4)^2 - 4\cdot 4\cdot 1 = 16 - 16 = 0\. Como \Delta = 0\, há uma raiz dupla
[ \lambda = \frac{4}{2\cdot 4} = \frac{1}{2} ]
[ \lambda = \frac{4}{2\cdot 4} = \frac{1}{2} ]
Passo 4
Quando a raiz \lambda é dupla, a forma da solução geral de uma EDO homogênea de segunda ordem é
[ y(t) = (C_1 + C_2\,t)\mathrm{e}^{\lambda t} ]
[ y(t) = (C_1 + C_2\,t)\mathrm{e}^{\lambda t} ]
Passo 5
Substituindo \lambda = \tfrac{1}{2}\, obtemos a solução geral da equação dada.
Resposta
$y(t) = (C_1 + C_2\,t)\,e^{\tfrac{1}{2}t}$