Encontre a solução geral das equações a seguir. Caso seja dada uma condição inicial, encontre também a solução particular correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais lineares de primeira ordem.
O que vamos precisar para resolver:
- Identificar que é uma equação diferencial linear.
- Utilizar o método do fator integrante.
- Aplicar a condição inicial para encontrar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
No nosso caso:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Podemos ignorar a constante
no fator integrante, então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
A equação agora fica:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é: