Encontre a solução geral das equações a seguir. Caso seja dada uma condição inicial, encontre também a solução particular correspondente.
y' + 2y sen(2x) = 2e^(cos(2x)), y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais lineares de primeira ordem.
O que vamos precisar para resolver:
  • Identificar que é uma equação diferencial linear.
  • Utilizar o método do fator integrante.
  • Aplicar a condição inicial para encontrar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
No nosso caso:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Podemos ignorar a constante no fator integrante, então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

A equação agora fica:
Integrando ambos os lados em relação a :

Passo 6

Agora, resolvemos para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial :
Sabemos que e , então:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

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