Encontre a solução geral das equações a seguir. Caso seja dada uma condição inicial, encontre também a solução particular correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
com a condição inicial
. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar do método do fator integrante, que ajuda a encontrar a solução geral da equação, e depois aplicar a condição inicial para achar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é uma equação diferencial linear simples. A solução geral dessa equação é dada por:
onde
é uma constante que vamos determinar mais tarde.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa
. Como o lado direito é uma função cosseno, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde
e
são constantes que precisamos descobrir.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
:
Substituindo
e
na equação original
:
Simplificando:
Comparando os coeficientes, temos:
Resolvendo o sistema:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então,
. Portanto, a solução particular é:
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A solução particular da equação diferencial dada é: