Encontre a solução geral das equações a seguir. Caso seja dada uma condição inicial, encontre também a solução particular correspondente.
y' + 2y = 4 cos(2x), y(1/4 pi) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial com a condição inicial . A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar do método do fator integrante, que ajuda a encontrar a solução geral da equação, e depois aplicar a condição inicial para achar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma equação diferencial linear simples. A solução geral dessa equação é dada por:
onde é uma constante que vamos determinar mais tarde.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o lado direito é uma função cosseno, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde e são constantes que precisamos descobrir.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de :
Substituindo e na equação original :
Simplificando:
Comparando os coeficientes, temos:
Resolvendo o sistema:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então, . Portanto, a solução particular é:

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de :
Sabemos que e , então:

Resposta

A solução particular da equação diferencial dada é:

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