Descreva como transformar o gráfico de f(x)=x^2 no gráfico das funções dadas.
Faça o esboço de cada gráfico.
h(x)=-3 x^2+2

Passo 1

O enunciado pede para obter o gráfico de h(x)=-3x^2+2 a partir do gráfico de f(x)=x^2. O conteúdo é transformações de gráfico: esticamento ou compressão, reflexão e translação.

Passo 2

Começamos definindo g(x)=-3x^2. Comparando com f(x)=x^2, a regra de transformação é
g(x)=(-3),f(x)
Multiplicar a saída por 3 implica num esticamento vertical de fator 3 (a parábola fica mais “estreita”) e o sinal negativo reflete o gráfico em relação ao eixo x (passa a abrir para baixo).

Passo 3

Agora formamos
h(x)=g(x)+2
Isso significa que todo ponto de g é deslocado verticalmente para cima em 2 unidades. Em termos geométricos, fazemos uma translação vertical de vetor (0,2).

Passo 4

Para esboçar, localizamos o vértice e alguns pontos notáveis.
O vértice de f fica em (0,0). Após g, continua em x=0, mas agora g(0)=0. Depois de adicionar 2, o vértice de h vai para
(0,;0+2)=(0,2)
Escolhendo x=1 e x=-1, temos
h(1)=-3cdot1^2+2=-1, h(-1)=-3cdot(-1)^2+2=-1
Para x=2 e x=-2:
h(2)=-3cdot4+2=-10, h(-2)=-10

Passo 5

Esboço do gráfico de :
  • Vértice em .
  • Parábola côncava para baixo, mais estreita que .
  • Passa por , , , .
Um esboço aproximado em ASCII:
 y
 \(\uparrow\)
|
| |
|———————
|
|
|
| ————————> x

Resposta

O gráfico de h(x) é obtido aplicando em f(x)=x^2:
1) esticamento vertical de fator 3;
2) reflexão no eixo x;
3) translação vertical para cima de 2 unidades.
O esboço resultante é a parábola invertida, vértice em (0,2), passando por (-1,-1), (1,-1), (-2,-10), (2,-10).

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