Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vamos resolver a primeira equação separável:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem que é separável, o que significa que podemos separar as variáveis $ y $ e $ x $ para facilitar a integração. Precisaremos usar técnicas de separação de variáveis e integração para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever $ y’ $ como :
Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $ passando todos os termos com $ y $ para um lado e os termos com $ x $ para o outro lado da equação:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a $ y $ e o lado direito em relação a $ x $:
A integral do lado esquerdo é simples:
Para a integral do lado direito, fazemos uma substituição simples. Seja $ u = 1 + x^2 $, então $ du = 2x dx $, ou seja, $ \frac{du}{2} = x dx $:
Passo 4
Voltando à equação integrada:
Podemos resolver para $ y $ exponenciando ambos os lados:
Usando propriedades dos logaritmos, isso simplifica para:
Como $ e^C $ é apenas uma constante, podemos renomeá-la para $ K $:
Passo 5
Vamos resolver a segunda equação separável:
Aqui, novamente temos uma equação diferencial de primeira ordem que pode ser rearranjada para facilitar a separação das variáveis. Precisamos reorganizar a equação para expressá-la na forma e depois separar as variáveis.
Passo 6
Primeiro, isolamos $ y’ $:
Agora, reescrevemos $ y’ $ como :
Vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $:
Passo 7
Integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo:
A integral do lado direito é:
Então, temos:
Passo 8
Vamos resolver para $ y $ exponenciando ambos os lados:
Isso pode ser reescrito como:
Como $ e^C $ é uma constante, podemos chamá-la de $ K $:
Passo 9
Vamos resolver a terceira equação separável:
Aqui, temos uma equação diferencial que envolve uma exponencial com ambos $ x $ e $ y $. Precisamos rearranjar a equação para separar $ y $ e $ x $ e então integrar.
Passo 10
Reescrevemos $ y’ $ como :
Para separar as variáveis, primeiro dividimos ambos os lados por $ e^{y} $:
Passo 11
Agora, integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo:
Para a integral do lado direito, usamos a técnica de integração por partes. Deixamos $ u = x $ e $ dv = e^{x} dx $, então $ du = dx $ e $ v = e^{x} $:
Então:
Passo 12
Resolvemos para $ e^{-y} $:
Podemos fatorar $ e^{x} $:
Finalmente, resolvemos para $ y $:
Passo 13
Vamos resolver a quarta equação separável:
Esta é uma equação diferencial logística, comum em modelagem de populações. Precisamos separar as variáveis $ y $ e $ t $ para integrar.
Passo 14
Reescrevemos a equação para separar as variáveis:
Fatorando o denominador:
Passo 15
Usamos frações parciais para decompor o lado esquerdo:
Resolvendo para $ A $ e $ B $:
Para $ y = 0 $: $ 1 = A $
Para $ y = 1 $: $ 1 = B $
Então, $ A = 1 $ e $ B = 1 $, então:
Portanto:
Passo 16
Integrando ambos os lados:
Podemos combinar os logaritmos:
Exponenciando ambos os lados:
y1 - y = K e^t
Onde $ K = e^{C} $. Agora, resolvemos para $ y $: K = e^C
Podemos reescrever $ K e^{t} $ como uma nova constante $ C’ $:
y
Passo 17
Vamos resolver a quinta equação separável:
x ln y dydx = (x + 1y)^2
Esta é uma equação diferencial de primeira ordem que precisa ser rearranjada para separar as variáveis $ y $ e $ x $. Vamos simplificar e reorganizar para facilitar a integração.
Passo 18
Primeiro, reescrevemos a equação para isolar dydx:
dydx = (x + 1)^2x ln y cdot y^2
Simplificamos a expressão: dydx = (x + 1)^2x y^2 ln y
Passo 19
Agora, separamos as variáveis $ y $ e $ x $:
y
Vamos simplificar o lado direito dividindo cada termo: x
Passo 20
Agora, integramos ambos os lados:
integral y^2 ln y , dy = integral (x + 2 + 1x) dx
Para a integral do lado esquerdo, usamos substituição. Seja $ u = \ln y $, então $ du = \frac{1}{y} dy $. Mas precisamos ajustar para $ y^2 \ln y , dy $. Podemos usar integração por partes com $ u = \ln y $ e $ dv = y^2 dy $: u = ln y
du = 1y dy
Aplicando integração por partes: y^2 ln y , dy
u = ln y
Para o lado direito: dv = y^2 dy
Passo 21
Igualamos as integrais:
y^33 ln y - y^39 = x^22 + 2x + ln|x| + C
Esta é a forma implícita da solução. Resolver explicitamente para $ y $ pode não ser simples, então geralmente deixamos a solução nessa forma.
Resposta
A solução geral da equação $ x \ln y \frac{dy}{dx} = \left(\frac{x + 1}{y}\right)^2 $ é dada implicitamente por:
x ln y dydx = (x + 1y)^2
onde $ C $ é uma constante arbitrária.