Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
a) y^prime=x y1+x^2
b) y-(1+x) y^prime=0
c) y^prime=x e^x+y
d) d yd t=y-y^2
e) x ln y d yd x=(x+1y)^2

Passo 1

Vamos resolver a primeira equação separável:
y' = x y1 + x^2
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem que é separável, o que significa que podemos separar as variáveis $ y $ e $ x $ para facilitar a integração. Precisaremos usar técnicas de separação de variáveis e integração para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever $ y’ $ como y' :
dydx
Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $ passando todos os termos com $ y $ para um lado e os termos com $ x $ para o outro lado da equação:
dydx = x y1 + x^2

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a $ y $ e o lado direito em relação a $ x $:
y
A integral do lado esquerdo é simples:
x
Para a integral do lado direito, fazemos uma substituição simples. Seja $ u = 1 + x^2 $, então $ du = 2x dx $, ou seja, $ \frac{du}{2} = x dx $:
integral 1y dy = integral x1 + x^2 dx

Passo 4

Voltando à equação integrada:
ln|y| = 12 ln|1 + x^2| + C
Podemos resolver para $ y $ exponenciando ambos os lados:
y
Usando propriedades dos logaritmos, isso simplifica para:
y = e^12 ln(1 + x^2) + C
Como $ e^C $ é apenas uma constante, podemos renomeá-la para $ K $:
y = e^C cdot (1 + x^2)^12

Passo 5

Vamos resolver a segunda equação separável:
y - (1 + x) y' = 0
Aqui, novamente temos uma equação diferencial de primeira ordem que pode ser rearranjada para facilitar a separação das variáveis. Precisamos reorganizar a equação para expressá-la na forma dydx = f(x, y) e depois separar as variáveis.

Passo 6

Primeiro, isolamos $ y’ $:
y'
y = (1 + x) y'
Agora, reescrevemos $ y’ $ como y' = y1 + x :
y'
Vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $:
dydx

Passo 7

Integramos ambos os lados:
integral 1y dy = integral 11 + x dx
A integral do lado esquerdo:
ln|y| = integral 11 + x dx
A integral do lado direito é:
ln|1 + x| + C
Então, temos:
ln|y| = ln|1 + x| + C

Passo 8

Vamos resolver para $ y $ exponenciando ambos os lados:
y
Isso pode ser reescrito como:
y = e^ln(1 + x) + C
Como $ e^C $ é uma constante, podemos chamá-la de $ K $:
y = e^C cdot (1 + x)

Passo 9

Vamos resolver a terceira equação separável:
y' = x e^x + y
Aqui, temos uma equação diferencial que envolve uma exponencial com ambos $ x $ e $ y $. Precisamos rearranjar a equação para separar $ y $ e $ x $ e então integrar.

Passo 10

Reescrevemos $ y’ $ como y' :
dydx
Para separar as variáveis, primeiro dividimos ambos os lados por $ e^{y} $:
dydx = x e^x + y

Passo 11

Agora, integramos ambos os lados:
integral e^-y dy = integral x e^x dx
A integral do lado esquerdo:
-e^-y = integral x e^x dx
Para a integral do lado direito, usamos a técnica de integração por partes. Deixamos $ u = x $ e $ dv = e^{x} dx $, então $ du = dx $ e $ v = e^{x} $:
u = x
Então:
dv = e^x dx

Passo 12

Resolvemos para $ e^{-y} $:
e^-y
Podemos fatorar $ e^{x} $:
e^-y = -x e^x + e^x + C
Finalmente, resolvemos para $ y $:
e^x

Passo 13

Vamos resolver a quarta equação separável:
dydt = y - y^2
Esta é uma equação diferencial logística, comum em modelagem de populações. Precisamos separar as variáveis $ y $ e $ t $ para integrar.

Passo 14

Reescrevemos a equação para separar as variáveis:
dyy - y^2 = dt
Fatorando o denominador:
dyy(1 - y) = dt

Passo 15

Usamos frações parciais para decompor o lado esquerdo:
1y(1 - y) = Ay + B1 - y
Resolvendo para $ A $ e $ B $:
A
Para $ y = 0 $: $ 1 = A $
Para $ y = 1 $: $ 1 = B $
Então, $ A = 1 $ e $ B = 1 $, então:
B
Portanto:
1 = A(1 - y) + B y

Passo 16

Integrando ambos os lados:
ln|y| - ln|1 - y| = t + C
Podemos combinar os logaritmos:
ln|y1 - y| = t + C
Exponenciando ambos os lados:
y1 - y = K e^t
Onde $ K = e^{C} $. Agora, resolvemos para $ y $:
K = e^C
Podemos reescrever $ K e^{t} $ como uma nova constante $ C’ $:
y

Passo 17

Vamos resolver a quinta equação separável:
x ln y dydx = (x + 1y)^2
Esta é uma equação diferencial de primeira ordem que precisa ser rearranjada para separar as variáveis $ y $ e $ x $. Vamos simplificar e reorganizar para facilitar a integração.

Passo 18

Primeiro, reescrevemos a equação para isolar dydx:
dydx = (x + 1)^2x ln y cdot y^2
Simplificamos a expressão:
dydx = (x + 1)^2x y^2 ln y

Passo 19

Agora, separamos as variáveis $ y $ e $ x $:
y
Vamos simplificar o lado direito dividindo cada termo:
x

Passo 20

Agora, integramos ambos os lados:
integral y^2 ln y , dy = integral (x + 2 + 1x) dx
Para a integral do lado esquerdo, usamos substituição. Seja $ u = \ln y $, então $ du = \frac{1}{y} dy $. Mas precisamos ajustar para $ y^2 \ln y , dy $. Podemos usar integração por partes com $ u = \ln y $ e $ dv = y^2 dy $:
u = ln y
du = 1y dy
Aplicando integração por partes:
y^2 ln y , dy
u = ln y
Para o lado direito:
dv = y^2 dy

Passo 21

Igualamos as integrais:
y^33 ln y - y^39 = x^22 + 2x + ln|x| + C
Esta é a forma implícita da solução. Resolver explicitamente para $ y $ pode não ser simples, então geralmente deixamos a solução nessa forma.

Resposta

A solução geral da equação $ x \ln y \frac{dy}{dx} = \left(\frac{x + 1}{y}\right)^2 $ é dada implicitamente por:
x ln y dydx = (x + 1y)^2
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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