Encontre a solução geral dos seguintes problemas de valor inicial:
a) ly^prime=ln x1+y^2 y(1)=0
b) ld yd x=x^21+y^2 y(2)=1
c) ly^prime tg x=y y(pi6)=-12
d) lx^2 y^prime=y-x y y(-1)=-1
e) ly^prime=4(y^2+1) y(pi4)=1

Passo 1

Neste exercício temos cinco problemas de valor inicial de equações diferenciais de primeira ordem. Os itens (a), (b), © e (e) são equações separáveis (pode-se isolar dy e dx em lados diferentes), e o item (d) também se reduz a uma forma separável após a manipulação algébrica. Vamos usar separação de variáveis, integração e a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Para o item (a), note que
dydx=ln x1+y^2
é separável. Escrevendo
(1+y^2),dy=ln(x),dx
e integrando ambos os lados,
integral(1+y^2),dy=integralln(x),dx
resulta em
y+y^33=xln(x)-x+C
Usando a condição inicial y(1)=0, temos
0+0=xln(x)-x+Cl|x=1implies -1+C=0implies C=1
Logo a solução implícita é
y+y^33=xln(x)-x+1

Passo 3

No item (b), a equação
dydx=x^21+y^2
é também separável. Fazendo
(1+y^2),dy=x^2,dx
e integrando,
integral(1+y^2),dy=integral x^2,dx
obtém-se
y+y^33=x^33+C
Com a condição y(2)=1, temos
1+tfrac13=tfrac83+Cimplies tfrac43=tfrac83+Cimplies C=0
Portanto
y+y^33=x^33

Passo 4

No item ©, começa-se com
y'tan x=yimplies dydx=ycot x
É separável via
dyy=cot x,dx
Integrando,
integraldyy=integralcot x,dx
resulta em
ln|y|=ln|sin x|+Cimplies y=Asin x
Aplicando y(pi/6)=-tfrac12, obtemos Acdottfrac12=-tfrac12implies A=-1. Logo
y=-sin x

Passo 5

Para o item (d), temos
x^2y'=y-xy=y(1-x)
Escrevendo
dyy=1-xx^2,dx=l(1x^2-1xr)dx
e integrando,
ln|y|=-1x-ln|x|+Cimplies y=Ce^-1/xx
Usando y(-1)=-1, temos
-1=Ce^1-1implies -1=-C eimplies C=1e
Portanto
y=1e,e^-1/xx

Passo 6

No item (e), a equação
y'=4(y^2+1)
é separável por
dyy^2+1=4,dx
e integrando,
integraldyy^2+1=integral4,dx
obtém-se
arctan y=4x+C
Com y(pi/4)=1, temos
pi4=4cdotpi4+C=pi+Cimplies C=-3pi4
Assim
arctan y=4x-3pi4implies y=tanl(4x-tfrac3pi4r)

Resposta

a) y+tfracy^33=xln(x)-x+1; b) y+tfracy^33=tfracx^33; c) y=-sin x; d) y=tfrac1e,tfrace^-1/xx; e) y=tanl(4x-tfrac3pi4r).

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