Encontre a solução geral dos seguintes problemas de valor inicial:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Neste exercício temos cinco problemas de valor inicial de equações diferenciais de primeira ordem. Os itens (a), (b), © e (e) são equações separáveis (pode-se isolar dy e dx em lados diferentes), e o item (d) também se reduz a uma forma separável após a manipulação algébrica. Vamos usar separação de variáveis, integração e a condição inicial para determinar a constante de integração.
Passo 2
Para o item (a), note que
é separável. Escrevendo
e integrando ambos os lados,
resulta em
Usando a condição inicial
, temos
Logo a solução implícita é
Passo 3
No item (b), a equação
é também separável. Fazendo
e integrando,
obtém-se
Com a condição
y(2)=1 , temos
Portanto
Passo 4
No item ©, começa-se com
É separável via
Integrando,
resulta em
Aplicando
y(pi/6)=-tfrac12 , obtemos
Acdottfrac12=-tfrac12implies A=-1 . Logo
Passo 5
Para o item (d), temos
Escrevendo
e integrando,
Usando
y(-1)=-1 , temos
Portanto
Passo 6
No item (e), a equação
é separável por
e integrando,
obtém-se
Com
y(pi/4)=1 , temos
Assim
Resposta
a)
y+tfracy^33=xln(x)-x+1 ; b)
y+tfracy^33=tfracx^33 ; c)
y=-sin x ; d)
y=tfrac1e,tfrace^-1/xx ; e)
y=tanl(4x-tfrac3pi4r) .