Encontre a solução geral das equações:
y^prime prime+2 y=e^t+2.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y = e^t + 2
O que precisamos fazer é: (1) encontrar a solução geral da equação homogênea associada; (2) achar uma solução particular da não homogênea; (3) somar ambas para obter a solução geral.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' + 2y = 0
A equação característica é
r^2 + 2 = 0 Longrightarrow r = pm iraiz2
Logo a solução geral homogênea é
yh(t) = C1cosl(raiz2,tr) + C2sinl(raiz2,tr),
com C1 e C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a parte particular, como o segundo membro é combinação de e^t e constante, supomos
yp(t) = A e^t + B,
onde A e B são constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
yp' = A e^t, yp'' = A e^t
Substituindo em y''+2y = e^t+2 obtemos
A e^t + 2l(A e^t + Br) = e^t + 2 Longrightarrow (3A),e^t + 2B = 1cdot e^t + 2
Igualando coeficientes de e^t e de constante:
3A = 1 Longrightarrow A = tfrac13, 2B = 2 Longrightarrow B = 1
Portanto
yp(t) = tfrac13e^t + 1

Passo 4

A solução geral da equação original é a soma da parte homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1cosl(raiz2,tr) + C2sinl(raiz2,tr) + tfrac13e^t + 1

Resposta

y(t) = C1cosl(raiz2,tr) + C2sinl(raiz2,tr) + tfrac13e^t + 1

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