Encontre a solução geral das equações:
y^prime prime-2 y^prime-3 y=3 e^2 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' - 3y = 3e^2t
O conteúdo aqui é equações lineares, e vamos precisar de duas etapas: (1) resolver a equação homogênea associada e (2) encontrar uma solução particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
y'' - 2y' - 3y = 0
Escrevemos a equação característica
r^2 - 2r - 3 = 0
e resolvemos:
r = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm 42,
logo r1 = 3 e r2 = -1.
A solução homogênea é
yh(t) = C1 e^3t + C2 e^-t

Passo 3

Para a solução particular, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo não homogêneo é 3e^2t e 2 não é raiz da equação característica, tentamos
yp(t) = A e^2t
Derivando, temos yp' = 2A e^2t e yp'' = 4A e^2t. Substituindo na equação original:
(4A) e^2t - 2(2A)e^2t - 3(A)e^2t = 3e^2t
(4A - 4A - 3A)e^2t = 3e^2t
-3A = 3 Longrightarrow A = -1
Portanto
yp(t) = -e^2t

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^3t + C2 e^-t - e^2t

Resposta

y(t) = C1 e^3t + C2 e^-t - e^2t

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