Encontre a solução geral das equações:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogenea
O conteúdo usado será: (i) encontrar a solução complementar
resolvendo a homogênea associada
, (ii) obter uma solução particular
por coeficientes indeterminados para o termo
e para o termo polinomial
, e (iii) somar
e
.
Passo 2
Para a homogênea
montamos a equação característica
, cujas raízes são
. Logo a solução complementar é
com
constantes arbitrárias.
Passo 3
Para o termo
usamos coeficientes indeterminados. Como
e
já aparecem em
, adotamos
Calculamos suas derivadas, substituímos em
e igualamos a
.
Passo 4
Após derivar e simplificar chega-se a
deve ser igual a
. Assim
Portanto
Passo 5
Para o termo polinomial
tentamos
Como
, em
devemos ter
. Então
Logo
Passo 6
A solução particular total é
Somando à complementar, a solução geral fica
Resposta
com
e
constantes arbitrárias.