Encontre a solução geral das equações:
y^prime prime+4 y=2 sin (2 t)+t.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogenea
y''+4y = 2sin(2t) + t
O conteúdo usado será: (i) encontrar a solução complementar yc resolvendo a homogênea associada y''+4y=0, (ii) obter uma solução particular yp por coeficientes indeterminados para o termo 2sin(2t) e para o termo polinomial t, e (iii) somar yc e yp.

Passo 2

Para a homogênea
y''+4y=0
montamos a equação característica lambda^2+4=0, cujas raízes são lambda=pm2i. Logo a solução complementar é
yc(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t),
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Para o termo 2sin(2t) usamos coeficientes indeterminados. Como sin(2t) e cos(2t) já aparecem em yc, adotamos
yp1(t) = tl(Acos(2t)+Bsin(2t)r)
Calculamos suas derivadas, substituímos em y''+4y e igualamos a 2sin(2t).

Passo 4

Após derivar e simplificar chega-se a
yp1'' + 4yp1 = 4Bcos(2t) - 4Asin(2t)
deve ser igual a 2sin(2t). Assim
4B = 0Rightarrow B=0, -4A = 2Rightarrow A = -tfrac12
Portanto
yp1(t) = -tfrac12,tcos(2t)

Passo 5

Para o termo polinomial t tentamos
yp2(t) = Ct + D
Como yp2''=0, em
yp2'' + 4yp2 = 4(Ct+D)
devemos ter 4Ct+4D=t. Então
4C=1 Rightarrow C=tfrac14, 4D=0 Rightarrow D=0
Logo
yp2(t) = tfrac14,t

Passo 6

A solução particular total é
yp(t) = yp1(t) + yp2(t) = -tfrac12,tcos(2t) + tfrac14,t
Somando à complementar, a solução geral fica

Resposta

y(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t) ;-;tfrac12,tcos(2t);+;tfrac14,t,
com C1 e C2 constantes arbitrárias.

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