Encontre a solução geral das equações:
(a) y^prime prime+5 y^prime+6 y=x e^5 x.

Passo 1

Temos uma EDO de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo: \ y’’ + 5y’ + 6y = x e^{5x}. O conteúdo é resolução de equações lineares de 2ª ordem usando solução da parte homogênea e método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma particular.

Passo 2

Para a parte homogênea associada a equação \ y’’ + 5y’ + 6y = 0 resolvemos a equação característica r^2 + 5r + 6 = 0. As raízes são r_1 = -2 e r_2 = -3. Logo, a solução homogênea é y_h(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x}.

Passo 3

Para determinar uma solução particular y_p, usamos o método dos coeficientes indeterminados. O termo forçante é x e^{5x}, que é polinomial de grau 1 vezes exponencial. Como r = 5 não anula o polinômio característico, fazemos o ansatz y_p = (Ax + B)e^{5x}.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p usando a regra do produto. Se P(x)=Ax+B então P’(x)=A e P’’(x)=0. Assim:
yp' = (P' + 5P)e^5x = (5Ax + 5B + A)e^5x,
yp'' = (P'' + 10P' + 25P)e^5x = (25Ax + 25B + 10A)e^5x

Passo 5

Substituindo y_p, y_p’ e y_p’’ na EDO e fatorando e^{5x}, obtemos:
yp'' + 5yp' + 6yp = (56Ax + 56B + 15A)e^5x

Passo 6

Igualando ao termo não homogêneo x e^{5x}, comparamos coeficientes do polinômio interno: 56A = 1 e 56B + 15A = 0. Resolvendo, A = 1/56 e B = -15/3136.

Passo 7

Portanto, a solução particular é y_p = l(tfrac156x - tfrac153136r)e^5x.

Passo 8

A solução geral da EDO é obtida somando a parte homogênea e a particular.

Resposta

A solução geral é y(x) = C1 e^-2x + C2 e^-3x + l(tfrac156x - tfrac153136r)e^5x.

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