Encontre a solução geral das equações:
(a)
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(a)
Passo 1
Temos uma EDO de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo: \ y’’ + 5y’ + 6y = x e^{5x}. O conteúdo é resolução de equações lineares de 2ª ordem usando solução da parte homogênea e método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma particular.
Passo 2
Para a parte homogênea associada a equação \ y’’ + 5y’ + 6y = 0 resolvemos a equação característica r^2 + 5r + 6 = 0. As raízes são r_1 = -2 e r_2 = -3. Logo, a solução homogênea é y_h(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x}.
Passo 3
Para determinar uma solução particular y_p, usamos o método dos coeficientes indeterminados. O termo forçante é x e^{5x}, que é polinomial de grau 1 vezes exponencial. Como r = 5 não anula o polinômio característico, fazemos o ansatz y_p = (Ax + B)e^{5x}.
Passo 4
Calculamos as derivadas de y_p usando a regra do produto. Se P(x)=Ax+B então P’(x)=A e P’’(x)=0. Assim:
Passo 5
Substituindo y_p, y_p’ e y_p’’ na EDO e fatorando e^{5x}, obtemos:
Passo 6
Igualando ao termo não homogêneo x e^{5x}, comparamos coeficientes do polinômio interno: 56A = 1 e 56B + 15A = 0. Resolvendo, A =
e B =
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Passo 7
Portanto, a solução particular é y_p =
.
Passo 8
A solução geral da EDO é obtida somando a parte homogênea e a particular.
Resposta
A solução geral é
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