Encontre a solução geral das equações:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a equação diferencial $ y’’ + y = \csc t $. Essa equação está no contexto das equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogenea (quando o lado direito é zero) mais uma solução particular dessa equação completa. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos achar a solução da equação homogênea associada, que é $ y’’ + y = 0 $. Para isso, imaginamos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante que a gente vai determinar.
Passo 3
Derivando $ y = e^{rt} $, temos:
- Primeira derivada: $ y’ = r e^{rt} $
- Segunda derivada: $ y’’ = r^2 e^{rt} $
Substituindo na equação homogênea:
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, precisamos que $ r^2 + 1 = 0 $. Então:
Isso significa que as soluções são funções trigonométricas.
Passo 4
Com raízes complexas $ r = \pm i $, a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinamos com condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular ($ y_p $) para a equação completa $ y’’ + y = \csc t $. Como o lado direito é $ \csc t $, que é $ 1/\sin t $, vamos usar o método de Variação de Parâmetros.
Passo 6
No método de Variação de Parâmetros, a gente assume que a solução particular tem a forma:
onde $ u_1(t) $ e $ u_2(t) $ são funções que a gente precisa determinar.
Passo 7
Primeiro, calculamos as derivadas de $ y_p $:
Para simplificar, colocamos a condição:
Isso nos ajuda a encontrar $ u_1’ $ e $ u_2’ $.
Passo 8
Substituindo $ y_p $ e $ y_p’ $ na equação diferencial:
Após alguns cálculos (que envolvem derivar novamente e substituir), chegamos a um sistema de equações para $ u_1’ $ e $ u_2’ $. Resolvendo esse sistema, encontramos:
Passo 9
Integrando $ u_1’ $ e $ u_2’ $:
Como estamos buscando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração.
Passo 10
Substituindo $ u_1 $ e $ u_2 $ na expressão de $ y_p $:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação $ y’’ + y = \csc t $ é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.