Encontre a solução geral das equações:
y^prime prime+y=cosec t

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação diferencial $ y’’ + y = \csc t $. Essa equação está no contexto das equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogenea (quando o lado direito é zero) mais uma solução particular dessa equação completa. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos achar a solução da equação homogênea associada, que é $ y’’ + y = 0 $. Para isso, imaginamos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante que a gente vai determinar.

Passo 3

Derivando $ y = e^{rt} $, temos:
  • Primeira derivada: $ y’ = r e^{rt} $
  • Segunda derivada: $ y’’ = r^2 e^{rt} $
Substituindo na equação homogênea:
y = e^rt
y' = r e^rt
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, precisamos que $ r^2 + 1 = 0 $. Então:
y'' = r^2 e^rt
r^2 e^rt + e^rt = 0
Isso significa que as soluções são funções trigonométricas.

Passo 4

Com raízes complexas $ r = \pm i $, a solução geral da equação homogênea é:
r = pm i
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinamos com condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ($ y_p $) para a equação completa $ y’’ + y = \csc t $. Como o lado direito é $ \csc t $, que é $ 1/\sin t $, vamos usar o método de Variação de Parâmetros.

Passo 6

No método de Variação de Parâmetros, a gente assume que a solução particular tem a forma:
yp(t) = u1(t) cos t + u2(t) sin t
onde $ u_1(t) $ e $ u_2(t) $ são funções que a gente precisa determinar.

Passo 7

Primeiro, calculamos as derivadas de $ y_p $:
yp
Para simplificar, colocamos a condição:
yp' = u1' cos t - u1 sin t + u2' sin t + u2 cos t
Isso nos ajuda a encontrar $ u_1’ $ e $ u_2’ $.

Passo 8

Substituindo $ y_p $ e $ y_p’ $ na equação diferencial:
yp
Após alguns cálculos (que envolvem derivar novamente e substituir), chegamos a um sistema de equações para $ u_1’ $ e $ u_2’ $. Resolvendo esse sistema, encontramos:
yp'
yp'' + yp = csc t

Passo 9

Integrando $ u_1’ $ e $ u_2’ $:
u1'
u2'
Como estamos buscando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração.

Passo 10

Substituindo $ u_1 $ e $ u_2 $ na expressão de $ y_p $:
u1
Simplificando:
u2

Resposta

A solução geral da equação $ y’’ + y = \csc t $ é:
y'' + y = csc t
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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