Encontre a solução geral das equações:
y^prime prime+y^prime-6 y=12 e^3 t+12 e^-2 t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' - 6y = 12 e^3t + 12 e^-2t
O conteúdo é a técnica de solução de EDO lineares não homogêneas: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada e depois achamos uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' + y' - 6y = 0
e montamos a equação característica
r^2 + r - 6 = 0
Resolvendo-a:
r = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52,
ou seja
r1 = 2, r2 = -3
Logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = C1 e^2t + C2 e^-3t

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp para
y'' + y' - 6y = 12 e^3t + 12 e^-2t
Como e^3t e e^-2t não são soluções da homogênea, tentamos
yp(t) = A e^3t + B e^-2t
Então
yp' = 3A e^3t -2B e^-2t, yp'' = 9A e^3t +4B e^-2t
Substituindo em y'' + y' -6y:
yp'' + yp' -6yp = (9A +3A -6A)e^3t + (4B -2B -6B)e^-2t = 6A,e^3t -4B,e^-2t
Para igualar a 12 e^3t +12 e^-2t exige-se
6A = 12 implies A = 2, -4B = 12 implies B = -3
Assim
yp(t) = 2 e^3t -3 e^-2t

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^2t + C2 e^-3t + 2 e^3t -3 e^-2t

Resposta

boxedy(t) = C1 e^2t + C2 e^-3t + 2 e^3t - 3 e^-2t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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