Provar o teorema de Stokes para o campo vetorial , sabendo que r=2 ; 0 <= phi <= 2 pi e 0 <= theta <= pi2 (2,0 pt)
Passo 1
O enunciado pede para verificarmos a igualdade do Teorema de Stokes
ointCvec Acdot dvec r ;=;integral duplaS(nablatimesvec A)cdot dvec S
para o campo vetorial em coordenadas esféricas
vec A(r,theta,phi)=costheta,hat ar
sobre a superfície S dada pela semi-esfera de raio r=2 com 0<=theta<=pi2 e 0<=phi<=2pi. A curva C é o círculo de interseção em theta=pi2.
Passo 2
Primeiro vamos calcular o integrando de superfície. Em esféricas, o vetor normal orientado positivamente é hat n=hat ar e o elemento de superfície vale
dvec S ;=;hat ar,r^2sintheta,dtheta,dphi
Logo
(nablatimesvec A)cdot dvec S =l[(nablatimesvec A)cdothat arr];r^2sintheta,dtheta,dphi
Passo 3
Em coordenadas esféricas, o componente radial do rotacional é