Provar o teorema de Stokes para o campo vetorial A(r, theta, phi)=cos theta a r, sabendo que r=2 ; 0 <= phi <= 2 pi e 0 <= theta <= pi2 (2,0 pt)

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos a igualdade do Teorema de Stokes
ointCvec Acdot dvec r ;=;integral duplaS(nablatimesvec A)cdot dvec S
para o campo vetorial em coordenadas esféricas
vec A(r,theta,phi)=costheta,hat ar
sobre a superfície S dada pela semi-esfera de raio r=2 com 0<=theta<=pi2 e 0<=phi<=2pi. A curva C é o círculo de interseção em theta=pi2.

Passo 2

Primeiro vamos calcular o integrando de superfície. Em esféricas, o vetor normal orientado positivamente é hat n=hat ar e o elemento de superfície vale
dvec S ;=;hat ar,r^2sintheta,dtheta,dphi
Logo
(nablatimesvec A)cdot dvec S =l[(nablatimesvec A)cdothat arr];r^2sintheta,dtheta,dphi

Passo 3

Em coordenadas esféricas, o componente radial do rotacional é
(nablatimesvec A)r =1rsinthetal[partialpartialtheta(sintheta,Aphi) -partial Athetapartial phir]
No nosso caso Aphi=0 e Atheta=0, portanto
(nablatimesvec A)r =1rsinthetal[0-0r] =0

Passo 4

Como só o componente radial contribui, temos
integral duplaS(nablatimesvec A)cdot dvec S =integral duplaS0;cdot,r^2sintheta,dtheta,dphi =0

Passo 5

Agora o lado de contorno. A curva C é dada por
r=2, theta=pi2, 0<=phi<=2pi,
e o elemento de arco é
dvec r =rsintheta,dphi;hat aphi =2cdot1,dphi;hat aphi=2,dphi,hat aphi
Sobre C, costheta=cospi2=0, logo
vec Al|C =0;hat ar,
e
vec Acdot dvec r =0cdot(2,dphi);=;0
Assim
ointCvec Acdot dvec r =integral0^2pi0,dphi =0

Passo 6

Concluímos que ambos os lados do Teorema de Stokes são iguais a zero:
ointCvec Acdot dvec r =integral duplaS(nablatimesvec A)cdot dvec S=0,
confirmando o teorema para este campo e esta superfície.

Resposta

O lado de superfície vale 0, o lado de contorno vale 0, e portanto o Teorema de Stokes está verificado.

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