Encontre a solução geral das equações:
(2 y x^2+3 y) y^prime-x=0

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação diferencial (2y x^2 + 3y)y' - x = 0. É uma EDO de variáveis separáveis, pois podemos isolar y' e passar termos em y de um lado e em x do outro.

Passo 2

Vamos reescrever a equação em forma explícita de y'. Começamos passando x para o outro lado e dividindo por (2x^2+3)y:
(2x^2+3)y,y' = x
$$
y’ = \frac{x}{(2x^2+3)y}$$

Passo 3

Agora separamos as variáveis y e x, escrevendo todos os fatores com y multiplicando dy e os fatores em x multiplicando dx:
y,dy = x2x^2+3,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados. À esquerda, usamos integral y,dy = y^2/2. À direita, fazemos a substituição u = 2x^2+3, então du = 4x,dx e x,dx = du/4:
integral y,dy = integral x2x^2+3,dx
y^22 = 14integral 1u,du = 14ln|u| + C = 14ln(2x^2+3) + C

Passo 5

Multiplicamos tudo por 2 para simplificar e definimos constante geral C1=2C:
y^2 = tfrac12ln(2x^2+3) + C1

Passo 6

Por fim, escrevemos a solução geral isolando y:
$$
y(x) = \pm\sqrt{\tfrac12\ln(2x^2+3) + C_1}$$

Resposta

A solução geral é
y^2 = tfrac12ln(2x^2+3) + C,
o que equivale a
$$
y(x) = \pm\sqrt{\tfrac12\ln(2x^2+3) + C}$$
com constante arbitrária y(x) = pmraiztfrac12ln(2x^2+3) + C.

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