Encontre a solução geral das equações:
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a equação diferencial
. É uma EDO de variáveis separáveis, pois podemos isolar
e passar termos em
de um lado e em
do outro.
Passo 2
Vamos reescrever a equação em forma explícita de
. Começamos passando
para o outro lado e dividindo por
:
$$
y’ = \frac{x}{(2x^2+3)y}$$
Passo 3
Agora separamos as variáveis
e
, escrevendo todos os fatores com
multiplicando
e os fatores em
multiplicando
:
Passo 4
Integramos ambos os lados. À esquerda, usamos
. À direita, fazemos a substituição
, então
e
:
Passo 5
Multiplicamos tudo por 2 para simplificar e definimos constante geral
:
Passo 6
Por fim, escrevemos a solução geral isolando
:
$$
y(x) = \pm\sqrt{\tfrac12\ln(2x^2+3) + C_1}$$
Resposta
A solução geral é
o que equivale a
$$
y(x) = \pm\sqrt{\tfrac12\ln(2x^2+3) + C}$$
com constante arbitrária .
com constante arbitrária