Resolva as equações:
d yd x=y-xy-x-1

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO dydx = y - xy - x - 1. O conteúdo é equações diferenciais de primeira ordem que aceitam mudança de variável do tipo “relação linear”. Vamos usar a substituição u = y - x, reescrevendo a derivada e transformando a EDO em separável.

Passo 2

Substituindo u = y - x temos y = x + u. Diferenciando em relação a x dydx = dudx + 1. No lado direito, y - x = u e y - x - 1 = u - 1, então a EDO fica
dudx + 1 = uu - 1 Isolando dudx, obtemos
dudx = uu - 1 - 1 = 1u - 1

Passo 3

Agora separamos variáveis:
(u - 1),du = dx Integrando ambos os lados,
integral (u - 1),du = integral dx Longrightarrow u^22 - u = x + C Multiplicando por 2,
u^2 - 2u = 2x + C', onde C' é constante arbitrária.

Passo 4

Voltando para y, lembrando que u = y - x, temos
(y - x)^2 - 2(y - x) = 2x + C' Expandindo e simplificando (o termo 2x cancela com o 2x do outro lado) resulta
(y - x)^2 - 2y = C, com C constante geral da solução.

Resposta

(y - x)^2 - 2y = C

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