Utilize o Exercício 1 e recursos computacionais para analisar a evolução temporal da solução da EDP
ut(x, t)=ux x(x, t), & para x in(-infty,+infty), t in(0,+infty), u(x, 0)=e^-|x|, & para x in(-infty,+infty)
Escolha pelo menos 5 valores variados para t, alguns muito próximos de zero, outros muito grandes.

Passo 1

O enunciado pede pra usar a solução obtida no Exercício 1 (isto é, o produto de convolução com o núcleo gaussiano) e, com auxílio de um software (por exemplo Python/Matlab), investigar como a solução da EDP de calor no real evolui em t. O conteúdo é a equação do calor unidimensional e vamos precisar da fórmula de convolução com o núcleo fundamental.

Passo 2

A solução da EDP de calor no real, com condição inicial u(x,0)=e^-|x|, é dada por convolução com o núcleo gaussiano:
u(x,t)=integral-infty^+inftyG(x-y,t),e^-|y|,dy, G(z,t)=1raiz4pi te^-z^2/(4t)

Passo 3

Para implementar numericamente, escolhemos uma malha de x em um intervalo adequado (por exemplo [-5,5]) e, para cada tempo t, aproximamos a integral por quadratura (trapézio ou Simpson) ou avaliamos a expressão exata em termos de funções de erro. Em Python, por exemplo, definimos arrays para x e y e calculamos
u(xi,t)=sumj G(xi-yj,t),e^-|yj|,De

Passo 4

Escolhemos cinco valores representativos de t, alguns muito próximos a zero e outros bem grandes:
t=0.01,;0.1,;1,;10,;100. Para cada um, computamos u(x,t) e traçamos o perfil em x.

Passo 5

Ao variar t, observamos:
  • Para t=0.01 o perfil está quase igual à condição inicial (pico em x=0, decaimento exponencial).
  • Para t=0.1 o pico já é mais largo e ligeiramente mais baixo.
  • Em t=1 a solução está bem suavizada, o máximo diminuiu e a largura cresceu (escala simraizt).
  • Para t=10 o perfil é ainda mais espalhado e baixo.
  • Em t=100 nota‐se uma distribuição muito plana e baixa (tende a zero para todo x fixo, pois a massa se espalha no espaço).

Resposta

Escolhendo t=0.01, 0.1, 1, 10 e 100 e plotando u(x,t) em x∈[−5,5], vemos claramente que, à medida que t cresce, o pico central vai diminuindo de altura e alargando em largura (escala √t), mostrando suavização progressiva e eventual decaimento do valor em cada x fixo (massa se espalha).

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