Utilize o Exercício 1 e recursos computacionais para analisar a evolução temporal da solução da EDP
Escolha pelo menos 5 valores variados para
, alguns muito próximos de zero, outros muito grandes.
Passo 1
O enunciado pede pra usar a solução obtida no Exercício 1 (isto é, o produto de convolução com o núcleo gaussiano) e, com auxílio de um software (por exemplo Python/Matlab), investigar como a solução da EDP de calor no real evolui em t. O conteúdo é a equação do calor unidimensional e vamos precisar da fórmula de convolução com o núcleo fundamental.
Passo 2
A solução da EDP de calor no real, com condição inicial
, é dada por convolução com o núcleo gaussiano:
Passo 3
Para implementar numericamente, escolhemos uma malha de
em um intervalo adequado (por exemplo
) e, para cada tempo
, aproximamos a integral por quadratura (trapézio ou Simpson) ou avaliamos a expressão exata em termos de funções de erro. Em Python, por exemplo, definimos arrays para
e
e calculamos
Passo 4
Escolhemos cinco valores representativos de
, alguns muito próximos a zero e outros bem grandes:
. Para cada um, computamos
e traçamos o perfil em
.
Passo 5
Ao variar
, observamos:
- Para
o perfil está quase igual à condição inicial (pico em , decaimento exponencial). - Para
o pico já é mais largo e ligeiramente mais baixo. - Em
a solução está bem suavizada, o máximo diminuiu e a largura cresceu (escala ). - Para
o perfil é ainda mais espalhado e baixo. - Em
nota‐se uma distribuição muito plana e baixa (tende a zero para todo fixo, pois a massa se espalha no espaço).
Resposta
Escolhendo t=0.01, 0.1, 1, 10 e 100 e plotando u(x,t) em x∈[−5,5], vemos claramente que, à medida que t cresce, o pico central vai diminuindo de altura e alargando em largura (escala √t), mostrando suavização progressiva e eventual decaimento do valor em cada x fixo (massa se espalha).