Esboce o gráfico e calcule a área das regiões indicadas abaixo em
:
Região limitada pelos gráficos das funções
e
Região limitada pelos gráficos das funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico das funções $ y = x + 1 $ e $ y = -x^{2} + 3 + 2x $, e depois calcular a área da região que fica entre elas. Para isso, vamos usar conhecimentos de gráficos de funções e cálculo de áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se encontram. Isso vai nos ajudar a saber os limites de integração para calcular a área.
Igualamos as duas funções:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $:
Subtraindo $ x + 1 $ de ambos os lados:
Multiplicando tudo por -1 para facilitar:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática $ x^{2} - x - 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = -2 $:
Então, as soluções são:
Passo 5
Agora sabemos que as funções se cruzam nos pontos $ x = -1 $ e $ x = 2 $. Esses serão os limites para calcular a área entre as curvas.
Passo 6
Para encontrar a área entre duas curvas, a fórmula é:
Onde $ f(x) $ é a função que está acima no intervalo e $ g(x) $ a que está abaixo. Vamos verificar qual função está acima entre $ x = -1 $ e $ x = 2 $.
Passo 7
Vamos escolher um valor dentro do intervalo, por exemplo, $ x = 0 $:
Como $ 3 > 1 $, a função $ y = -x^{2} + 3 + 2x $ está acima de $ y = x + 1 $ nesse intervalo.
Passo 8
Agora, aplicamos a fórmula da área:
Passo 9
Vamos integrar termo a termo:
Então, a antiderivada é:
Passo 10
Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de $ x = -1 $ e $ x = 2 $:
Calculando cada parte:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = -1 $:
Passo 11
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região limitada pelas funções $ y = x + 1 $ e $ y = -x^{2} + 3 + 2x $ é de $ \frac{9}{2} , \mathrm{m}^{2} $.