Esboce o gráfico e calcule a área das regiões indicadas abaixo em m^2 :
Região limitada pelos gráficos das funções y=x+1 e y=-x^2+3+2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico das funções $ y = x + 1 $ e $ y = -x^{2} + 3 + 2x $, e depois calcular a área da região que fica entre elas. Para isso, vamos usar conhecimentos de gráficos de funções e cálculo de áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se encontram. Isso vai nos ajudar a saber os limites de integração para calcular a área.
Igualamos as duas funções:
x + 1 = -x^2 + 3 + 2x

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $:
x
Subtraindo $ x + 1 $ de ambos os lados:
x + 1 = -x^2 + 3 + 2x
Multiplicando tudo por -1 para facilitar:
x + 1

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática $ x^{2} - x - 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
x^2 - x - 2 = 0
Onde $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = -2 $:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então, as soluções são:
a = 1

Passo 5

Agora sabemos que as funções se cruzam nos pontos $ x = -1 $ e $ x = 2 $. Esses serão os limites para calcular a área entre as curvas.

Passo 6

Para encontrar a área entre duas curvas, a fórmula é:
Área = integrala^b (f(x) - g(x)) , dx Á
Onde $ f(x) $ é a função que está acima no intervalo e $ g(x) $ a que está abaixo. Vamos verificar qual função está acima entre $ x = -1 $ e $ x = 2 $.

Passo 7

Vamos escolher um valor dentro do intervalo, por exemplo, $ x = 0 $:
x = 0
Como $ 3 > 1 $, a função $ y = -x^{2} + 3 + 2x $ está acima de $ y = x + 1 $ nesse intervalo.

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula da área:
Área = integral-1^2 ( (-x^2 + 3 + 2x) - (x + 1) ) , dx Área = integral-1^2 (-x^2 + 3 + 2x - x - 1) , dx Área = integral-1^2 (-x^2 + x + 2) , dx ÁÁÁ

Passo 9

Vamos integrar termo a termo:
integral (-x^2) , dx = -x^33 integral x , dx = x^22 integral 2 , dx = 2x
Então, a antiderivada é:
-x^33 + x^22 + 2x

Passo 10

Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de $ x = -1 $ e $ x = 2 $:
x = -1
Calculando cada parte:
Para $ x = 2 $:
x = 2
Para $ x = -1 $:
[ -(2)^33 + (2)^22 + 2 cdot 2 ] - [ -(-1)^33 + (-1)^22 + 2 cdot (-1) ]

Passo 11

Subtraindo os valores:
103 - ( -76 ) = 103 + 76 = 206 + 76 = 276 = 92

Resposta

A área da região limitada pelas funções $ y = x + 1 $ e $ y = -x^{2} + 3 + 2x $ é de $ \frac{9}{2} , \mathrm{m}^{2} $.

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