Encontre a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente n vezes.
10. y^{(4)}=e^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{(4)} = e^{2x},
ou seja, a quarta derivada de y em relação a x é e^{2x}. A tarefa é encontrar a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente n vezes — aqui n=4 — ou seja, obter y a partir de y^{(4)} realizando quatro integrais indefinidas. As informações relevantes são:
  • o lado direito é \,e^{2x}\,;
  • cada integração indefinida acrescenta uma constante arbitrária de integração;
  • depois de quatro integrações teremos quatro constantes arbitrárias (uma por integração).

Passo 2

Lembra da regra básica de integração que vamos usar muitas vezes: para todo número real a\neq0,
\int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a}e^{a x}+C,
porque a derivada de \dfrac{1}{a}e^{a x} é e^{a x}. Aqui a=2. Além disso, integrar uma constante K Kx+C, integrar Kx Kx^{2}/2 + C, etc. Em cada passo vou introduzir uma constante de integração nova, que vou chamar de C_1,C_2,C_3,C_4.

Passo 3

Primeira integração: obtemos y^{(3)} integrando y^{(4)}=e^{2x}:
y^{(3)}=\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C_{1},
onde C_{1} é uma constante real arbitrária.

Passo 4

Segunda integração: obtemos y'' integrando y^{(3)}:
y''=\int\!\left(\frac{1}{2}e^{2x}+C_{1}\right)dx =\int\frac{1}{2}e^{2x}dx+\int C_{1}\,dx =\frac{1}{4}e^{2x}+C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é uma nova constante de integração.

Passo 5

Terceira integração: obtemos y' integrando y'':
y'=\int\!\left(\frac{1}{4}e^{2x}+C_{1}x+C_{2}\right)dx =\frac{1}{8}e^{2x}+\frac{C_{1}}{2}x^{2}+C_{2}x+C_{3},
onde C_{3} é outra constante arbitrária. Note como as potências de x aparecem com os fatores corretos divididos pelo novo expoente.

Passo 6

Quarta integração: obtemos y integrando y':
y=\int\!\left(\frac{1}{8}e^{2x}+\frac{C_{1}}{2}x^{2}+C_{2}x+C_{3}\right)dx =\frac{1}{16}e^{2x}+\frac{C_{1}}{6}x^{3}+\frac{C_{2}}{2}x^{2}+C_{3}x+C_{4},
onde C_{4} é a quarta constante de integração. Observe que a constante exponencial acumulou um fator \tfrac{1}{2} a cada integração: \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{16}.

Passo 7

Interpretação didática e forma geral: a solução geral é a soma de uma solução particular de y^{(4)}=e^{2x} — aqui \tfrac{1}{16}e^{2x} — com a solução geral da homogênea y^{(4)}=0. A solução da homogênea é um polinômio cúbico de grau até 3 com coeficientes arbitrários, que aparece explicitamente como
\frac{C_{1}}{6}x^{3}+\frac{C_{2}}{2}x^{2}+C_{3}x+C_{4}.
As constantes C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são independentes e reais. Na prova, basta integrar sequencialmente e lembrar de adicionar uma constante a cada passo; essa é a rotina padrão para equações do tipo y^{(n)}=f(x).

Passo 8

Checagem rápida (verificação): derivando quatro vezes
y=\frac{1}{16}e^{2x}+\frac{C_{1}}{6}x^{3}+\frac{C_{2}}{2}x^{2}+C_{3}x+C_{4}
as derivadas do polinômio de grau 3 desaparecem ao chegar na quarta derivada, e a parte exponencial dá exatamente e^{2x}, portanto a solução está correta.

Resposta

y(x)=\frac{1}{16}e^{2x}+\frac{C_{1}}{6}x^{3}+\frac{C_{2}}{2}x^{2}+C_{3}x+C_{4}

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