Encontre a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente
vezes.
10.
10.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
ou seja, a quarta derivada de
em relação a
é
. A tarefa é encontrar a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente
vezes — aqui
— ou seja, obter
a partir de
realizando quatro integrais indefinidas. As informações relevantes são:
- o lado direito é
; - cada integração indefinida acrescenta uma constante arbitrária de integração;
- depois de quatro integrações teremos quatro constantes arbitrárias (uma por integração).
Passo 2
Lembra da regra básica de integração que vamos usar muitas vezes: para todo número real
,
porque a derivada de
é
. Aqui
. Além disso, integrar uma constante
dá
, integrar
dá
, etc. Em cada passo vou introduzir uma constante de integração nova, que vou chamar de
.
Passo 3
Primeira integração: obtemos
integrando
:
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 4
Segunda integração: obtemos
integrando
:
onde
é uma nova constante de integração.
Passo 5
Terceira integração: obtemos
integrando
:
onde
é outra constante arbitrária. Note como as potências de
aparecem com os fatores corretos divididos pelo novo expoente.
Passo 6
Quarta integração: obtemos
integrando
:
onde
é a quarta constante de integração. Observe que a constante exponencial acumulou um fator
a cada integração:
.
Passo 7
Interpretação didática e forma geral: a solução geral é a soma de uma solução particular de
— aqui
— com a solução geral da homogênea
. A solução da homogênea é um polinômio cúbico de grau até 3 com coeficientes arbitrários, que aparece explicitamente como
As constantes
são independentes e reais. Na prova, basta integrar sequencialmente e lembrar de adicionar uma constante a cada passo; essa é a rotina padrão para equações do tipo
.
Passo 8
Checagem rápida (verificação): derivando quatro vezes
as derivadas do polinômio de grau 3 desaparecem ao chegar na quarta derivada, e a parte exponencial dá exatamente
, portanto a solução está correta.