Faça a substituição v=y^{\prime} e v^{\prime}=y^{\prime \prime} para transformar a EDO em linear de 1^{\underline{a}} ordem, resolva para v, e depois integre para achar y.
2. y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime}-y^{\prime}=0
e pede explicitamente que se faça a substituição \,v=y^{\prime}\, e \,v^{\prime}=y^{\prime\prime}\, para transformar a EDO em uma de primeira ordem linear, resolver para v e, em seguida, integrar para achar y. Não há condições iniciais fornecidas, portanto a solução será geral (com constantes de integração).

Passo 2

Aplicando a substituição pedida: como \,v=y^{\prime}\, e \,v^{\prime}=y^{\prime\prime}\,, a equação original fica
v^{\prime}-v=0.
Ou, de forma equivalente,
\frac{dv}{dx}-v=0.
Aqui já temos uma equação de primeira ordem para v(x).

Passo 3

Breve aula sobre EDO linear de 1ª ordem (para lembrar a técnica):
  • Uma EDO linear de primeira ordem tem a forma padrão
\frac{dv}{dx}+p(x)\,v=q(x),
onde p(x) e q(x) são funções conhecidas de x.
  • Existem dois métodos muito usados: separação de variáveis (quando possível) e fator integrante. No nosso caso q(x)=0 e a equação reduz-se a uma equação homogênea simples, que permite usar separação de variáveis de maneira direta e rápida.

Passo 4

Resolver \dfrac{dv}{dx}-v=0 por separação:
\frac{dv}{dx}=v.
Separamos as variáveis escrevendo \dfrac{1}{v}\,dv=dx (observe que isso exige v\neq0; a solução v\equiv0 será obtida como caso limite ao integrar).
Integrando ambos os lados:
\int \frac{1}{v}\,dv=\int 1\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|v|=x+C_1,
onde C_1 é constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
|v|=e^{x+C_1}=e^{C_1}e^{x}.
Absorvendo o sinal e a constante numa constante arbitrária não nula C, obtemos a solução geral para v:
v=C_1 e^{x},
onde aqui escolhi escrever a constante como C_1 (podendo C_1=0 incluir o caso trivial).

Passo 5

Agora voltamos à relação \,v=y^{\prime}\,. Temos
y^{\prime}=C_1 e^{x}.
Integramos em relação a x para obter y:
y=\int C_1 e^{x}\,dx = C_1 e^{x}+C_2,
onde C_2 é uma segunda constante de integração.

Passo 6

Comentário final e verificação rápida (útil na prova): calcule y^{\prime} e y^{\prime\prime} a partir da solução encontrada:
y^{\prime}=C_1 e^{x},\qquad y^{\prime\prime}=C_1 e^{x}.
Substituindo na equação original \,y^{\prime\prime}-y^{\prime}=0\, obtém-se C_1 e^{x}-C_1 e^{x}=0, logo a solução está correta. As constantes C_1 e C_2 são arbitrárias e determinam a solução geral.

Resposta

v=C_1 e^{x}
y=C_1 e^{x}+C_2

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