Faça a substituição
e
para transformar a EDO em linear de
ordem, resolva para
, e depois integre para achar
.
2.
2.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede explicitamente que se faça a substituição
e
para transformar a EDO em uma de primeira ordem linear, resolver para
e, em seguida, integrar para achar
. Não há condições iniciais fornecidas, portanto a solução será geral (com constantes de integração).
Passo 2
Aplicando a substituição pedida: como
e
, a equação original fica
Ou, de forma equivalente,
Aqui já temos uma equação de primeira ordem para
.
Passo 3
Breve aula sobre EDO linear de 1ª ordem (para lembrar a técnica):
- Uma EDO linear de primeira ordem tem a forma padrão
onde
e
são funções conhecidas de
.
- Existem dois métodos muito usados: separação de variáveis (quando possível) e fator integrante. No nosso caso
e a equação reduz-se a uma equação homogênea simples, que permite usar separação de variáveis de maneira direta e rápida.
Passo 4
Resolver
por separação:
Separamos as variáveis escrevendo
(observe que isso exige
; a solução
será obtida como caso limite ao integrar).
Integrando ambos os lados:
Integrando ambos os lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
Absorvendo o sinal e a constante numa constante arbitrária não nula
, obtemos a solução geral para
:
onde aqui escolhi escrever a constante como
(podendo
incluir o caso trivial).
Passo 5
Agora voltamos à relação
. Temos
Integramos em relação a
para obter
:
onde
é uma segunda constante de integração.
Passo 6
Comentário final e verificação rápida (útil na prova): calcule
e
a partir da solução encontrada:
Substituindo na equação original
obtém-se
, logo a solução está correta. As constantes
e
são arbitrárias e determinam a solução geral.