Faça a substituição
e
para transformar a EDO em linear de
ordem, resolva para
, e depois integre para achar
.
-
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede que se faça a substituição
(com
), transforme a EDO em uma de primeira ordem para
, resolva essa EDO para
e, em seguida, integre para encontrar
. As informações relevantes são:
- A equação original é
. - Foi indicada a substituição
e . - Objetivo final: encontrar a solução geral
.
Passo 2
Aplicando a substituição indicada, trocamos
por
e
por
. Assim a equação original fica
Aqui
é a derivada de
em relação a
. Agora temos uma equação de primeira ordem para
.
Passo 3
Vamos resolver a equação de primeira ordem
Uma forma simples de resolver essa equação homogênea é tratar como equação separável. Reescrevendo:
Agora separamos as variáveis
e
:
Explicando: separar significa colocar todos os termos com
no lado esquerdo e todos os termos com
no lado direito, de modo a poder integrar ambos os lados.
Passo 4
Integramos os dois lados agora:
As integrais são básicas:
onde
é a constante de integração. Em seguida, exponenciando ambos os lados para isolar
, obtemos
onde
é uma constante arbitrária real (pode-se tomar
). Vou usar o nome
para a constante que aparece em
:
Passo 5
Lembrando que
, substituímos de volta:
Agora integramos em relação a
para encontrar
. A integral é simples; usamos que
. Assim,
onde
é uma nova constante de integração. Aqui
e
são constantes arbitrárias reais que compõem a solução geral da EDO de segunda ordem.
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas útil): derivando
obtemos
e substituindo em
dá
, portanto a solução satisfaz a equação original. Bom trabalho — agora já dá pra fazer isso na prova com calma!