Faça a substituição v=y^{\prime} e v^{\prime}=y^{\prime \prime} para transformar a EDO em linear de 1^{\underline{a}} ordem, resolva para v, e depois integre para achar y.
  1. y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y''+y'=0
e pede que se faça a substituição v=y' (com v'=y''), transforme a EDO em uma de primeira ordem para v, resolva essa EDO para v e, em seguida, integre para encontrar y. As informações relevantes são:
  • A equação original é \;y''+y'=0\;.
  • Foi indicada a substituição \;v=y'\; e \;v'=y''\;.
  • Objetivo final: encontrar a solução geral y(x).

Passo 2

Aplicando a substituição indicada, trocamos y'' por v' e y' por v. Assim a equação original fica
v' + v = 0.
Aqui v'=\dfrac{dv}{dx} é a derivada de v em relação a x. Agora temos uma equação de primeira ordem para v(x).

Passo 3

Vamos resolver a equação de primeira ordem
\frac{dv}{dx} + v = 0.
Uma forma simples de resolver essa equação homogênea é tratar como equação separável. Reescrevendo:
\frac{dv}{dx} = -v.
Agora separamos as variáveis v e x:
\frac{dv}{v} = -\,dx.
Explicando: separar significa colocar todos os termos com v no lado esquerdo e todos os termos com x no lado direito, de modo a poder integrar ambos os lados.

Passo 4

Integramos os dois lados agora:
\int \frac{dv}{v} = \int -\,dx.
As integrais são básicas:
\ln|v| = -x + C_1,
onde C_1 é a constante de integração. Em seguida, exponenciando ambos os lados para isolar v, obtemos
v = C e^{-x},
onde C é uma constante arbitrária real (pode-se tomar C=\pm e^{C_1}). Vou usar o nome C_1 para a constante que aparece em v:
v(x)=C_1 e^{-x}.

Passo 5

Lembrando que v=y', substituímos de volta:
y' = C_1 e^{-x}.
Agora integramos em relação a x para encontrar y(x). A integral é simples; usamos que \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}. Assim,
y(x)=\int C_1 e^{-x}\,dx = -C_1 e^{-x} + C_2,
onde C_2 é uma nova constante de integração. Aqui C_1 e C_2 são constantes arbitrárias reais que compõem a solução geral da EDO de segunda ordem.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas útil): derivando y(x)=-C_1 e^{-x}+C_2 obtemos
y' = C_1 e^{-x},\qquad y'' = -C_1 e^{-x},
e substituindo em \;y''+y' -C_1 e^{-x}+C_1 e^{-x}=0, portanto a solução satisfaz a equação original. Bom trabalho — agora já dá pra fazer isso na prova com calma!

Resposta

y(x) = -C_1 e^{-x} + C_2

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