Encontre a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente n vezes.
9. y^{(4)}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{(4)}=0
e pede a solução geral obtida integrando ambos os lados consecutivamente n vezes. Aqui n=4, ou seja, integrar quatro vezes com respeito à variável independente (vou chamar de x). Informação dada importante:
  • A derivada quarta de y em relação a x é zero: \,y^{(4)}(x)=0.
    O que se pede: encontrar y(x) geral, com as constantes de integração (solução geral).

Passo 2

Ideia e regra que vamos usar (aquela que vale para a prova):
  • Integrar uma derivada reduz a ordem: \int y^{(k)}(x)\,dx = y^{(k-1)}(x)+C, porque a primitiva da derivada é a função de ordem imediatamente menor, mais uma constante arbitrária C.
  • Cada integração indefinida introduz uma constante de integração nova e arbitrária (essas constantes serão determinadas por condições iniciais, se houver).
  • A primitiva de zero é uma constante: \int 0\,dx = C.
    Aplicando isso quatro vezes vamos obter y e quatro constantes de integração.

Passo 3

Primeira integração: integrar \,y^{(4)}=0 uma vez em relação a x.
\int y^{(4)}(x)\,dx = \int 0\,dx
Pelo que foi dito, o lado esquerdo é y^{(3)}(x) e o direito é uma constante arbitrária; chamo de C_1. Logo
y^{(3)}(x)=C_1.
Explicação curta: a terceira derivada é constante (pois a quarta derivada é zero).

Passo 4

Segunda integração: integrar y^{(3)}(x)=C_1.
\int y^{(3)}(x)\,dx = \int C_1\,dx
O lado esquerdo vira y''(x). A primitiva de C_1 é C_1 x mais uma nova constante C_2. Assim
y''(x)=C_1 x + C_2.
Observação: C_2 é independente de C_1; ambos são constantes arbitrárias.

Passo 5

Terceira integração: integrar y''(x)=C_1 x + C_2.
\int y''(x)\,dx = \int (C_1 x + C_2)\,dx
O lado esquerdo vira y'(x). No lado direito usamos as regras de potência:
\int C_1 x\,dx = C_1\frac{x^2}{2},\qquad \int C_2\,dx = C_2 x.
Somando a constante de integração nova C_3, obtemos
y'(x)=C_1\frac{x^2}{2} + C_2 x + C_3.

Passo 6

Quarta integração: integrar y'(x)=C_1\frac{x^2}{2} + C_2 x + C_3.
\int y'(x)\,dx = \int \left(C_1\frac{x^2}{2} + C_2 x + C_3\right)\,dx
O lado esquerdo vira y(x). Calculando primitivas termo a termo:
\int C_1\frac{x^2}{2}\,dx = C_1\frac{x^3}{6},\qquad \int C_2 x\,dx = C_2\frac{x^2}{2},\qquad \int C_3\,dx = C_3 x.
Adicionando a quarta constante de integração C_4, obtemos a forma geral
y(x)=C_1\frac{x^3}{6} + C_2\frac{x^2}{2} + C_3 x + C_4.
Breve comentário: os C_i são constantes arbitrárias; essa é a família de todas as funções cuja quarta derivada é zero.

Passo 7

Forma alternativa e prática para a prova: como os C_i são arbitrários, é comum reescrever a solução como um polinômio cúbico com constantes arbitrárias A,B,C,D. Multiplicando ou renomeando constantes, uma forma mais curta é
y(x)=A + Bx + Cx^2 + Dx^3,
onde A,B,C,D são constantes arbitrárias (note que aqui C e D não são os mesmos C_i usados antes, são apenas renomeações). Isso facilita a escrita rápida na prova.

Resposta

y(x)=C_1\frac{x^3}{6} + C_2\frac{x^2}{2} + C_3 x + C_4

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