Encontre a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente
vezes.
9.
9.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral obtida integrando ambos os lados consecutivamente
vezes. Aqui
, ou seja, integrar quatro vezes com respeito à variável independente (vou chamar de
). Informação dada importante:
- A derivada quarta de
em relação a é zero:
O que se pede: encontrargeral, com as constantes de integração (solução geral).
Passo 2
Ideia e regra que vamos usar (aquela que vale para a prova):
- Integrar uma derivada reduz a ordem:
, porque a primitiva da derivada é a função de ordem imediatamente menor, mais uma constante arbitrária . - Cada integração indefinida introduz uma constante de integração nova e arbitrária (essas constantes serão determinadas por condições iniciais, se houver).
- A primitiva de zero é uma constante:
Aplicando isso quatro vezes vamos obtere quatro constantes de integração.
Passo 3
Primeira integração: integrar
uma vez em relação a
.
Pelo que foi dito, o lado esquerdo é
e o direito é uma constante arbitrária; chamo de
. Logo
Explicação curta: a terceira derivada é constante (pois a quarta derivada é zero).
Passo 4
Segunda integração: integrar
.
O lado esquerdo vira
. A primitiva de
é
mais uma nova constante
. Assim
Observação:
é independente de
; ambos são constantes arbitrárias.
Passo 5
Terceira integração: integrar
.
O lado esquerdo vira
. No lado direito usamos as regras de potência:
Somando a constante de integração nova
, obtemos
Passo 6
Quarta integração: integrar
.
O lado esquerdo vira
. Calculando primitivas termo a termo:
Adicionando a quarta constante de integração
, obtemos a forma geral
Breve comentário: os
são constantes arbitrárias; essa é a família de todas as funções cuja quarta derivada é zero.
Passo 7
Forma alternativa e prática para a prova: como os
são arbitrários, é comum reescrever a solução como um polinômio cúbico com constantes arbitrárias
. Multiplicando ou renomeando constantes, uma forma mais curta é
onde
são constantes arbitrárias (note que aqui
e
não são os mesmos
usados antes, são apenas renomeações). Isso facilita a escrita rápida na prova.