Encontre uma solução geral.
ly1^prime=y1+y2+5 cos t y2^prime=3 y1-y2-5 sen t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral do sistema de equações diferenciais
y1'=y1+y2+5cos t, y2'=3y1-y2-5sin t
Aqui usaremos teoria de sistemas lineares com coeficientes constantes: primeiro resolvemos a parte homogênea via autovalores e autovetores da matriz, depois encontramos uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial y'=Ay+f(t), onde
A=1&13&-1, f(t)=5cos t-5sin t
Para a parte homogênea y'=Ay, buscamos det(A-lambda I)=0:
lambda^2-4=0implieslambda=2,,-2

Passo 3

Para lambda=2, temos (A-2I)v=0 que leva a v1=(1,1)^T. Para lambda=-2, (A+2I)v=0 v2=(1,-3)^T. Logo a solução homogênea é
yh(t)=C1e^2t11+C2e^-2t1-3

Passo 4

Para a solução particular, usamos o palpite
yp(t)=Ccos t+Dsin t,
com vetores constantes C=(c1,c2)^T e D=(d1,d2)^T. Derivando,
yp'=-Csin t+Dcos t,
e substituindo em y'=Ay+f(t) obtemos o sistema para C,D:
D-A C=50, C+ A D=05
Resolvendo em componentes, achamos
C=-1-2, D=2-1

Passo 5

Assim, a solução particular é
yp(t)=-1-2cos t+2-1sin t =-cos t+2sin t-2cos t-sin t

Passo 6

Combinando parte homogênea e particular, a solução geral é
$$y(t)=y_h(t)+y_p(t).
$$

Resposta

$$y(t)=C_{1}e{2t}\begin{pmatrix}1\1\end{pmatrix}+C_{2}e{-2t} y(t)=C1e^2t11+C2e^-2t1-3+-cos t+2sin t-2cos t-sin t + .
$$

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