Encontre uma solução geral.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral do sistema de equações diferenciais
Aqui usaremos teoria de sistemas lineares com coeficientes constantes: primeiro resolvemos a parte homogênea via autovalores e autovetores da matriz, depois encontramos uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma matricial
, onde
Para a parte homogênea
, buscamos
:
Passo 3
Para
, temos
que leva a
. Para
,
dá
. Logo a solução homogênea é
Passo 4
Para a solução particular, usamos o palpite
com vetores constantes
e
. Derivando,
e substituindo em
obtemos o sistema para
:
Resolvendo em componentes, achamos
Passo 5
Assim, a solução particular é
Passo 6
Combinando parte homogênea e particular, a solução geral é
$$y(t)=y_h(t)+y_p(t).
$$
Resposta
$$y(t)=C_{1}e{2t}\begin{pmatrix}1\1\end{pmatrix}+C_{2}e{-2t}
+
.
$$