Encontre uma solução geral dos sistemas a seguir.
ly1^prime=-y1+y2+0,4 y3 y2^prime=y1-0,1 y2+1,4 y3 y3^prime=0,4 y1+1,4 y2+0,2 y3

Passo 1

O enunciado pede uma solução geral para o sistema linear de primeira ordem
y1' = -y1 + y2 + 0,4,y3 y2' = y1 - 0,1,y2 + 1,4,y3 y3' = 0,4,y1 + 1,4,y2 + 0,2,y3
Aqui o conteúdo é sistemas lineares e vamos usar o método de autovalores e autovetores. Primeiro montamos a matriz de coeficientes
A = -1 & 1 & 0,41 & -0,1 & 1,40,4 & 1,4 & 0,2

Passo 2

Calculamos o polinômio característico det(A - lambda I)=0. Fazendo as contas, chegamos a
lambda^3 + 0,9,lambda^2 - 3,24,lambda - 2,916 = 0,
cuja fatoração é
(lambda - 1,8)(lambda + 0,9)(lambda + 1,8) = 0

Passo 3

Resolvendo temos os autovalores
lambda1 = 1,8, lambda2 = -0,9, lambda3 = -1,8
Para cada lambdai resolvemos (A - lambdai I)v = 0 e obtemos os autovetores
v^(1) = 122, v^(2) = 21-2, v^(3) = 2-21

Passo 4

A solução geral é a combinação linear dos modos exponenciais, ou seja,

Passo 5

y(t) = C1 e^1,8t122 + C2 e^-0,9t21-2 + C3 e^-1,8t2-21,
onde C1, C2, C3 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(t) = C1 e^1,8t122 + C2 e^-0,9t21-2 + C3 e^-1,8t2-21

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