Nos problemas de 11 a 16, verifique que as funções dadas são soluções da equação diferencial e determine seu wronskiano.
y^(4)+y^prime prime=0 ; 1, t, cos t, sen t

Passo 1

Estamos com a EDO linear homogênea de coeficientes constantes
y^(4) + y'' = 0
e as quatro funções candidatas: 1, t, cos t e sin t. Precisamos mostrar que cada uma satisfaz a equação e depois calcular o wronskiano delas.

Passo 2

Para verificar que cada função é solução, basta computar as derivadas segunda e quarta e substituir na EDO:
  • Para y=1:
y''=0, y^(4)=0 ; y^(4)+y''=0+0=0
  • Para y=t:
y'=1, y''=0, y^(4)=0 ;
y^(4)+y''=0+0=0
  • Para y=cos t:
y''=-cos t, y^(4)=cos t ;
y^(4)+y''=cos t - cos t=0
  • Para y=sin t:
y''=-sin t, y^(4)=sin t ;
y^(4)+y''=sin t - sin t=0
Assim, todas satisfazem a EDO.

Passo 3

O wronskiano W(t) de quatro funções y1,y2,y3,y4 é definido por
Aqui temos

Passo 4

Note que essa matriz é triangular em blocos: o bloco superior esquerdo é
com determinante 1, e o bloco inferior direito é
cujo determinante é
$ (-\cos t)(-\cos t) - (-\sin t)(\sin t)=\cos^2 t+\sin^2 t=1.$
Multiplicando ambos, obtemos 1 & t n0 & 1.

Resposta

W(t)=1

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