Nos problemas de 11 a 16, verifique que as funções dadas são soluções da equação diferencial e determine seu wronskiano.
Passo 1
Estamos com a EDO linear homogênea de coeficientes constantes
e as quatro funções candidatas: 1, t,
e
. Precisamos mostrar que cada uma satisfaz a equação e depois calcular o wronskiano delas.
Passo 2
Para verificar que cada função é solução, basta computar as derivadas segunda e quarta e substituir na EDO:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Assim, todas satisfazem a EDO.
Passo 3
O wronskiano
de quatro funções
é definido por
Aqui temos
Passo 4
Note que essa matriz é triangular em blocos: o bloco superior esquerdo é
com determinante 1, e o bloco inferior direito é
cujo determinante é
$ (-\cos t)(-\cos t) - (-\sin t)(\sin t)=\cos^2 t+\sin^2 t=1.$
Multiplicando ambos, obtemos .
com determinante 1, e o bloco inferior direito é
cujo determinante é
$ (-\cos t)(-\cos t) - (-\sin t)(\sin t)=\cos^2 t+\sin^2 t=1.$
Multiplicando ambos, obtemos