O enunciado pede pra resolver o sistema linear de EDOs de primeira ordem com condições iniciais usando autovalores e autovetores. O conteúdo é sistemas lineares homogêneos e vamos precisar transformar em forma matricial, achar autovalores resolvendo a equação característica e depois os autovetores; por fim, montar a solução geral e ajustar as constantes com as condições iniciais.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma matricial y'=Ay, onde
A=1 & 14 & 1, y=y1y2
A equação característica vem de det(A-lambda I)=0:
det1-lambda & 14 & 1-lambda=(1-lambda)^2-4=0
que leva a
lambda^2-2lambda-3=0Rightarrowlambda=3,,-1
Passo 3
Para cada autovalor achamos um autovetor: para lambda=3 resolvemos
-2 & 14 & -2v1v2=0
que dá v2=2v1. Escolhendo v^(1)=(1,2)^T. Para lambda=-1 temos
2 & 14 & 2v1v2=0
que leva a v2=-2v1. Tomamos v^(2)=(1,-2)^T.
Passo 4
A solução geral é combinação linear das soluções elementares:
y(t)=C,e^3t12+D,e^-t1-2
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais y(0)=(1,6)^T:
C12+D1-2=16
o que gera o sistema
C+D=1, 2C-2D=6
Resolvendo, obtemos C=2 e D=-1.
Passo 6
Substituindo os valores de C e D na solução geral, ficamos com as funções: