Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
ly1^prime=y1+y2 y2^prime=4 y1+y2 y1(0)=1, y2(0)=6

Passo 1

O enunciado pede pra resolver o sistema linear de EDOs de primeira ordem com condições iniciais usando autovalores e autovetores. O conteúdo é sistemas lineares homogêneos e vamos precisar transformar em forma matricial, achar autovalores resolvendo a equação característica e depois os autovetores; por fim, montar a solução geral e ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial y'=Ay, onde
A=1 & 14 & 1, y=y1y2
A equação característica vem de det(A-lambda I)=0:
det1-lambda & 14 & 1-lambda=(1-lambda)^2-4=0
que leva a
lambda^2-2lambda-3=0Rightarrowlambda=3,,-1

Passo 3

Para cada autovalor achamos um autovetor: para lambda=3 resolvemos
-2 & 14 & -2v1v2=0
que dá v2=2v1. Escolhendo v^(1)=(1,2)^T. Para lambda=-1 temos
2 & 14 & 2v1v2=0
que leva a v2=-2v1. Tomamos v^(2)=(1,-2)^T.

Passo 4

A solução geral é combinação linear das soluções elementares:
y(t)=C,e^3t12+D,e^-t1-2

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais y(0)=(1,6)^T:
C12+D1-2=16
o que gera o sistema
C+D=1, 2C-2D=6
Resolvendo, obtemos C=2 e D=-1.

Passo 6

Substituindo os valores de C e D na solução geral, ficamos com as funções:
y1(t)=2e^3t-e^-t,
y2(t)=4e^3t+2e^-t

Resposta

y1(t)=2e^3t-e^-t, y2(t)=4e^3t+2e^-t.

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