Encontre a solução geral da E.D.O. y^(6)-y^prime prime prime=8.
Se necessário, use que a^3-b^3=(a-b)(a^2+a b+b^2).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de ordem seis com coeficientes constantes
y^(6) - y^primeprimeprime = 8
O conteúdo é método das equações diferenciais lineares: primeiro encontramos a solução geral da homogênea via equação característica, depois uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea, suponhamos y=e^rx. Substituindo obtém-se a equação característica
r^6 - r^3 = 0

Passo 3

Fatorando a equação característica temos
r^3,(r^3 - 1)=0
Isto dá as raízes
r=0(mu<iplicidade 3),
e as raízes de r^3=1, que são
r1=1, r2=-tfrac12 + tfracraiz32i, r3=-tfrac12 - tfracraiz32i

Passo 4

Da multiplicidade de r=0 surgem três constantes e as soluções 1, x e x^2. Da raiz real r=1 vem e^x. Das duas raízes complexas conjugadas surge a combinação real
e^-x/2cos!l(tfracraiz32xr) e e^-x/2sin!l(tfracraiz32xr)
Logo a solução geral da homogênea é
yh = C1 + C2,x + C3,x^2 + C4,e^x + e^-x/2l(C5cos(tfracraiz32x)+C6sin(tfracraiz32x)r)

Passo 5

Para a solução particular, como o termo forçante é constante 8 e r=0 é raiz de multiplicidade 3, tentamos um polinômio de grau 3 multiplicado por x^3, mas como a parte homogênea já contém 1,x,x^2, basta tomar
yp = A,x^3
Então
yp^(3) = 6A, yp^(6)=0,
e ao substituir em y^(6)-y^primeprimeprime=8 vem
0 - 6A = 8 Longrightarrow A = -tfrac43
Logo
yp = -tfrac43,x^3

Passo 6

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x)

Resposta

y(x) = C1 + C2,x + C3,x^2 + C4,e^x + e^-x/2l(C5cos(tfracraiz32x)+C6sin(tfracraiz32x)r) ;-;tfrac43,x^3

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