Encontre a solução geral da E.D.O.
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Se necessário, use que
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de ordem seis com coeficientes constantes
O conteúdo é método das equações diferenciais lineares: primeiro encontramos a solução geral da homogênea via equação característica, depois uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Para a parte homogênea, suponhamos
. Substituindo obtém-se a equação característica
Passo 3
Fatorando a equação característica temos
Isto dá as raízes
e as raízes de
, que são
Passo 4
Da multiplicidade de
surgem três constantes e as soluções
,
e
. Da raiz real
vem
. Das duas raízes complexas conjugadas surge a combinação real
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 5
Para a solução particular, como o termo forçante é constante
e
é raiz de multiplicidade
, tentamos um polinômio de grau
multiplicado por
, mas como a parte homogênea já contém
, basta tomar
Então
e ao substituir em
vem
Logo
Passo 6
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: