Considere g(t) uma função contínua. Determine:
(a) a solução geral da E.D.O. y^prime prime-y^prime=g(t).
(b) a solução do P.V.I. y^prime prime-y^prime=g(t), y(1)=0, y^prime(1)=e.

Passo 1

Resumindo o enunciado: a E.D.O.
y''-y'=g(t)
é linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular usando as ideias de redução de ordem e fator integrante.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y''-y'=0,
a equação característica é
r^2 - r = 0Longrightarrow r=0,,1
Logo a solução geral da homogênea é
yh(t)=C1 + C2,e^t

Passo 3

Para a parte particular, definimos
u(t)=y'(t)-y(t)
Então
u'(t)=y''(t)-y'(t)=g(t),
logo uma primitiva é
u(t)=integral g(t),dt + A,
com A constante arbitrária.

Passo 4

Agora resolvemos a primeira ordem
y'(t)-y(t)=u(t)=integral g(t),dt + A
O fator integrante é mu(t)=e^-t. Multiplicando, obtemos
l(y(t)e^-tr)'=l(!!integral g(t),dt + Ar)e^-t
Integrando em t,
y(t)e^-t =integral l(!!integral g(s),ds + Ar)e^-s,ds + C
Multiplicando por e^t,
y(t) = C,e^t +e^tintegral^tl(!!integral g(s),ds + Ar)e^-s,ds

Passo 5

Reescrevendo de forma mais simétrica e isolando a parte particular numa integral aninhada, a solução geral é
Isso resolve o item (a).

Passo 6

Para o P.V.I. y(1)=0, y'(1)=e, definimos
G(t)=integral1^t g(s),ds,
de modo que G(1)=0. Então
u(t)=y'(t)-y(t)=G(t)+A,
e impondo y'(1)-y(1)=e-0=G(1)+A obtemos A=e.
A partir do resultado do passo anterior, com constante de integração ajustada em t=1 e sem termo extra C, temos
y(t)e^-t =integral1^tl(G(s)+er)e^-s,ds,
de onde
y(t) =e^tintegral1^tl(G(s)+er)e^-s,ds
Separando o termo e,
y(t) =e^tintegral1^t e^-sl(!!integral1^s g(sigma),dsigmar),ds ;+; e,e^t!integral1^t e^-s,ds
Como
integral1^t e^-s,ds =e^-1-e^-t,
o segundo termo é e^t-e.

Passo 7

Portanto a solução do P.V.I. é

Resposta

(a) y(t)=C1 + C2,e^t +e^tintegral^t e^-sl(!!integral^s g(sigma),dsigmar),ds
(b) y(t)=e^tintegral1^t e^-sl(!!integral1^s g(sigma),dsigmar),ds ;+;e^t;-;e

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