Considere
uma função contínua. Determine:
(a) a solução geral da E.D.O.
.
(b) a solução do P.V.I.
.
(a) a solução geral da E.D.O.
(b) a solução do P.V.I.
Passo 1
Resumindo o enunciado: a E.D.O.
é linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular usando as ideias de redução de ordem e fator integrante.
Passo 2
Resolvendo a homogênea
a equação característica é
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a parte particular, definimos
Então
logo uma primitiva é
com
constante arbitrária.
Passo 4
Agora resolvemos a primeira ordem
O fator integrante é
. Multiplicando, obtemos
Integrando em
,
Multiplicando por
,
Passo 5
Reescrevendo de forma mais simétrica e isolando a parte particular numa integral aninhada, a solução geral é
Isso resolve o item (a).
Passo 6
Para o P.V.I.
,
, definimos
de modo que
. Então
e impondo
obtemos
.
A partir do resultado do passo anterior, com constante de integração ajustada em e sem termo extra
, temos
A partir do resultado do passo anterior, com constante de integração ajustada em
de onde
Separando o termo
,
Como
o segundo termo é
.
Passo 7
Portanto a solução do P.V.I. é
Resposta
(a)
(b)
(b)