1. Calcule W\left[y_{1}, y_{2}\right](x) das funções y_{1}(x)=x^{2} e y_{2}(x)=x|x|.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o wronskiano W\left[y_{1},y_{2}\right](x) das funções dadas. As informações relevantes são:
y_{1}(x)=x^{2},\qquad y_{2}(x)=x\lvert x\rvert.
As perguntas implícitas são: qual é a expressão de W\left[y_{1},y_{2}\right](x) para todo x\in\mathbb{R}? (ou seja, para x>0, x<0 e x=0).

Passo 2

Vamos lembrar o que é o wronskiano e por que ele aparece. O wronskiano de duas funções y_{1} e y_{2} é definido por
W[y_{1},y_{2}](x)= \begin{vmatrix} y_{1}(x) & y_{2}(x) \\\ y_{1}'(x) & y_{2}'(x) \end{vmatrix} = y_{1}(x)\,y_{2}'(x)-y_{2}(x)\,y_{1}'(x).
Aqui y_{1}'(x) e y_{2}'(x) são as derivadas das funções em relação a x. No passo seguinte vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculemos y_{1}'(x). Como y_{1}(x)=x^{2}, usando a regra básica de derivação de potência temos
y_{1}'(x)=2x.
Agora precisamos de y_{2}'(x) para y_{2}(x)=x\lvert x\rvert. Observação útil: x\lvert x\rvert é igual a x^{2} quando x\ge 0 e igual a -x^{2} quando x<0. Em notação peça‑wise:
y_{2}(x)=\begin{cases} x^{2}, & x\ge 0,\\[4pt] -\,x^{2}, & x<0. \end{cases}
Com isso podemos derivar em cada região.]

Passo 4

Derivada de y_{2} para x>0: se x>0 então y_{2}(x)=x^{2} e
y_{2}'(x)=2x\quad\text{(para }x>0\text{)}.

Passo 5

Derivada de y_{2} para x<0: se x<0 então y_{2}(x)=-x^{2} e
y_{2}'(x)=-2x\quad\text{(para }x<0\text{)}.

Passo 6

Derivada de y_{2} em x=0: precisamos verificar se y_{2} é diferenciável em 0. Pelo cálculo do limite do quociente incremental,
y_{2}'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{y_{2}(0+h)-y_{2}(0)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{h\lvert h\rvert - 0}{h} =\lim_{h\to 0}\lvert h\rvert = 0.
Portanto y_{2}'(0)=0. Observação: também y_{1}'(0)=2\cdot 0=0.

Passo 7

Agora montamos o wronskiano peça‑wise usando a fórmula \,W=y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'\,.
Para x>0:
y_{1}(x)=x^{2},\quad y_{1}'(x)=2x,\quad y_{2}(x)=x^{2},\quad y_{2}'(x)=2x.
Logo
W[y_{1},y_{2}](x)=x^{2}\cdot(2x)-x^{2}\cdot(2x)=0\quad\text{para }x>0.

Passo 8

Para x<0:
y_{1}(x)=x^{2},\quad y_{1}'(x)=2x,\quad y_{2}(x)=-x^{2},\quad y_{2}'(x)=-2x.
Logo
W[y_{1},y_{2}](x)=x^{2}\cdot(-2x)-(-x^{2})\cdot(2x)=-2x^{3}+2x^{3}=0\quad\text{para }x<0.

Passo 9

No ponto x=0 temos
y_{1}(0)=0,\quad y_{1}'(0)=0,\quad y_{2}(0)=0,\quad y_{2}'(0)=0,
então o wronskiano em zero é
W[y_{1},y_{2}](0)=0\cdot 0 - 0\cdot 0 = 0.

Passo 10

Concluímos que em todas as três regiões ( x>0, x<0 e x=0 ) o wronskiano vale zero. Portanto a expressão final é identicamente zero para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

W[y_{1},y_{2}](x)=0

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