1. Seja b um número real não nulo. Mostre que \mathrm{y}_{1}(\mathrm{x})=\cos (\mathrm{b} \mathrm{x}) e \mathrm{y}_{2}(\mathrm{x})=\operatorname{sen}(\mathrm{b} \mathrm{x}) são soluções fundamentais da equação
y^{\prime \prime}+b^{2} y=0

Passo 1

O enunciado dá que b é um número real não nulo e fornece duas funções:
y_1(x)=\cos(bx)
y_2(x)=\sin(bx)
A tarefa é mostrar que essas duas funções são soluções fundamentais da equação diferencial
y'' + b^{2}y = 0.
Informações relevantes dadas:
  • b\in\mathbb{R} e b\neq 0.
  • As funções y_1 e y_2 são explícitas (dados explícitos de x).
  • Precisamos verificar duas coisas: (i) que cada função satisfaz a equação diferencial (ou seja, é solução) e (ii) que as duas são linearmente independentes (logo formam uma base de soluções, ou seja, são soluções fundamentais).

Passo 2

Vamos mostrar que y_1(x)=\cos(bx) é solução. Primeiro calculamos as derivadas de y_1. Usamos a regra da cadeia: se u(x)=bx então \dfrac{d}{dx}\cos(u)=-\sin(u)\cdot u'. Aqui u'(x)=b. Portanto:
y_1'(x)=\frac{d}{dx}\cos(bx) = -\sin(bx)\cdot b = -b\sin(bx).
Agora derivamos novamente para obter a segunda derivada. Novamente aplicação da regra da cadeia em -b\sin(bx):
y_1''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-b\sin(bx)\bigr) = -b\cdot\cos(bx)\cdot b = -b^{2}\cos(bx).

Passo 3

Substituímos y_1 e y_1'' na equação \;y''+b^{2}y=0\;. Usando os resultados do passo anterior:
y_1''(x)+b^{2}y_1(x) = -b^{2}\cos(bx) + b^{2}\cos(bx) = 0.
Portanto \;y_1(x)=\cos(bx)\; satisfaz a equação diferencial; é uma solução.

Passo 4

Agora mostramos que y_2(x)=\sin(bx) é solução. Novamente calculamos derivadas com a regra da cadeia. Primeiro:
y_2'(x)=\frac{d}{dx}\sin(bx)=\cos(bx)\cdot b = b\cos(bx).
Derivando de novo:
y_2''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(b\cos(bx)\bigr) = b\cdot(-\sin(bx))\cdot b = -b^{2}\sin(bx).

Passo 5

Substituímos y_2 e y_2'' na equação:
y_2''(x)+b^{2}y_2(x) = -b^{2}\sin(bx) + b^{2}\sin(bx) = 0.
Logo \;y_2(x)=\sin(bx)\; também é solução da equação diferencial.

Passo 6

Agora precisamos mostrar que y_1 e y_2 são linearmente independentes (isso é o que faz delas uma base de soluções — “soluções fundamentais”). Para isso usamos o Wronskiano W(y_1,y_2)(x), definido por
W(y_1,y_2)(x) = \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x)\\[4pt] y_1'(x) & y_2'(x) \end{vmatrix} = y_1(x)\,y_2'(x) - y_1'(x)\,y_2(x).
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto (ou identicamente não nulo), as soluções são linearmente independentes.]

Passo 7

Usamos as derivadas calculadas antes: y_1(x)=\cos(bx), y_1'(x)=-b\sin(bx), y_2(x)=\sin(bx), y_2'(x)=b\cos(bx). Substituindo na expressão do Wronskiano:
W(y_1,y_2)(x) = \cos(bx)\cdot \bigl(b\cos(bx)\bigr) - \bigl(-b\sin(bx)\bigr)\cdot \sin(bx).
Simplificando:
W(y_1,y_2)(x) = b\cos^{2}(bx) + b\sin^{2}(bx) = b\bigl(\cos^{2}(bx)+\sin^{2}(bx)\bigr).
Usamos a identidade trigonométrica fundamental \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, então
W(y_1,y_2)(x) = b\cdot 1 = b.

Passo 8

Como b foi dado como não nulo, temos W(y_1,y_2)(x)=b\neq 0 para todo x. Logo y_1 e y_2 são linearmente independentes em qualquer intervalo real. Sendo duas soluções linearly independentes de uma equação linear homogênea de segunda ordem, elas formam um conjunto fundamental de soluções. Assim a solução geral da equação é uma combinação linear delas:
y(x)=C_{1}\cos(bx)+C_{2}\sin(bx),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y_1(x)=\cos(bx) e y_2(x)=\sin(bx) são soluções fundamentais da equação y''+b^{2}y=0.\nA solução geral é y(x)=C_{1}\cos(bx)+C_{2}\sin(bx), com C_{1},C_{2} constantes reais.

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