Encontre a soluçảo geral para s equação diferencial linear.
d yd x+4x y=x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos essa equação diferencial linear que é a seguinte:
dydx + 4x y = x^2 - 1
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação para entender melhor. A equação está no formato padrão:
dydx + P(x) y = Q(x)
Onde:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante ( mu(x) = e^integral P(x) dx ). Esse fator é essencial porque, quando multiplicamos a equação toda por ele, conseguimos transformar a equação em algo que podemos integrar facilmente.
A fórmula para o fator integrante é:
mu(x) = e^integral 4x dx = e^4 ln|x| = |x|^4
Vamos calcular:
mu(x) = x^4
Como estamos trabalhando com , podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante x^4 cdot dydx + x^4 cdot 4x y = x^4(x^2 - 1) :
x^4 dydx + 4x^3 y = x^6 - x^4
Simplificando:

Passo 5

Agora, percebemos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto ddx(y cdot x^4) = x^6 - x^4 . Isso ocorre por causa da escolha do fator integrante. Então podemos reescrever a equação como:

Passo 6

Para encontrar y cdot x^4 = integral (x^6 - x^4) dx + C , integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Calculando a integral:
integral x^6 dx = x^77 integral x^4 dx = x^55
Então:
y cdot x^4 = x^77 - x^55 + C

Passo 8

Para isolar y = x^77x^4 - x^55x^4 + Cx^4 , dividimos ambos os lados por y = x^37 - x5 + Cx^4 :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = x^37 - x5 + Cx^4

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