Encontre a soluçảo geral para s equação diferencial linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos essa equação diferencial linear que é a seguinte:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação para entender melhor. A equação está no formato padrão:
Onde:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante (
). Esse fator é essencial porque, quando multiplicamos a equação toda por ele, conseguimos transformar a equação em algo que podemos integrar facilmente.
A fórmula para o fator integrante é:
Vamos calcular:
Como estamos trabalhando com
, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, percebemos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
. Isso ocorre por causa da escolha do fator integrante. Então podemos reescrever a equação como:
Passo 6
Para encontrar
, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Calculando a integral:
Então:
Passo 8
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: