Seja
a funçāo definida por
Calcule os limites de
quando
, ao longo dos seguintes caminhos:
eixo
;
A função
tem limite em
? Justifique!
eixo
A função
Passo 1
O enunciado pede o limite de
A função
A função
quando
ao longo do eixo dos x (ou seja,
), e depois verificar se existe limite em
independentemente do caminho. Vamos usar conceitos de limites de funções de duas variáveis e, para justificar a existência do limite, aplicaremos coordenadas polares.
Passo 2
Para analisar o eixo dos x, colocamos
. Então
Logo, ao longo do eixo
,
para todo
e o limite quando
é 0.
Passo 3
Para ver o comportamento geral, passamos a coordenadas polares:
,
, com
. Temos
e
Fatorando
:
Para
, o fator
e o quociente restante fica limitado (já que
não se anula fora de
, caso em que
de qualquer forma). Portanto
para todo
.
Passo 4
Como em todas as direções o valor de
tende a 0, concluímos que o limite de
em
existe e vale 0.
Resposta
Limite ao longo do eixo x: 0. A função tem limite em (0,0) e esse limite é 0.