Seja f: R^2-(0,0) R a funçāo definida por
f(x, y)=3 x^4 y^4(x^4+y^2)^13
Calcule os limites de f(x, y) quando (x, y) (0,0), ao longo dos seguintes caminhos:
eixo x;
A função f tem limite em (0,0) ? Justifique!

Passo 1

O enunciado pede o limite de
A função
f(x,y)=3x^4y^4(x^4+y^2)^1/3
quando (x,y)to(0,0) ao longo do eixo dos x (ou seja, y=0), e depois verificar se existe limite em (0,0) independentemente do caminho. Vamos usar conceitos de limites de funções de duas variáveis e, para justificar a existência do limite, aplicaremos coordenadas polares.

Passo 2

Para analisar o eixo dos x, colocamos y=0. Então
f(x,0)=3x^4cdot 0^4(x^4+0^2)^1/3=0
Logo, ao longo do eixo x, f(x,0)=0 para todo xneq0 e o limite quando xto0 é 0.

Passo 3

Para ver o comportamento geral, passamos a coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, com rto0^+. Temos
x^4=r^4cos^4theta,
y^2=r^2sin^2theta,
e
f(r,theta)=3r^4cos^4theta;r^4sin^4theta(r^4cos^4theta+r^2sin^2theta)^1/3
Fatorando r:
f(r,theta)=3,r^8cos^4thetasin^4thetar^2/3(r^2cos^4theta+sin^2theta)^1/3 =3,r^22/3cdotcos^4thetasin^4theta(r^2cos^4theta+sin^2theta)^1/3
Para rto0, o fator r^22/3to0 e o quociente restante fica limitado (já que (r^2cos^4theta+sin^2theta)^1/3 não se anula fora de sintheta=0, caso em que f=0 de qualquer forma). Portanto f(r,theta)to0 para todo theta.

Passo 4

Como em todas as direções o valor de f(x,y) tende a 0, concluímos que o limite de f(x,y) em (0,0) existe e vale 0.

Resposta

Limite ao longo do eixo x: 0. A função tem limite em (0,0) e esse limite é 0.

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